Với mọi a, b ta luôn có \(a^2+b^2\ge2ab\).
Suy ra \(a^2+b^2+2ab\le2\left(a^2+b^2\right)\) \(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\le4\).
Suy ra \(\left|a+b\right|\le2\Leftrightarrow-2\le a+b\le2\).
Vì vậy \(a+b\le2\).

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki   ta có:

        \(\left(a+b\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(a^2+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(a+b\right)^2\le2.2=4\)   (do  \(a^2+b^2\le2\))

\(\Leftrightarrow\)\(a+b\le\sqrt{4}=2\)  (đpcm)

p/s: tham khảo ạ. mk ko giám đảm bảo

Sửa đề: \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\)

Áp dụng BĐT Cosi,ta được:

\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\cdot\sqrt{\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{b}{a}}=2\)

Ta có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\Rightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Rightarrow2ab\le a^2+b^2\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+2ab\le2\left(a^2+b^2\right)\Rightarrow\left(a+b\right)^2\le4\Rightarrow a+b\le2\)

\(a^2\ge a\)

\(b^2\ge b\)

\(a^2+b^2\le2\Rightarrow a+b\le2\)

a²≤ 2a² ; b²≤ 2b²

=> a² + b² ≤ 2a² + 2b² ( = 2 ( a² + b² ) )

\(\left(a^2+b^2\right)\le2\left(a^2+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2-2a^2-2b^2\le0\)

\(\Leftrightarrow-a^2-b^2\le0\)

\(\Leftrightarrow-\left(a^2+b^2\right)\le0\)

Vì \(a^2+b^2\ge0\Rightarrow-\left(a^2+b^2\right)\le0\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=0\)