x+y=10 và xy=9

=>x,y là các nghiệm của phương trình là:

a^2-10a+9=0

=>a=1 hoặc a=9

=>(x,y)=(1;9) hoặc (x,y)=(9;1)

Câu hỏi lỗi rồi :))

Đặt \(P=xyz\le\dfrac{1}{4}\left(x+y\right)^2z=\dfrac{1}{4}\left(x+y\right)^2\left(2016-x-y\right)\)

Do \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge2\\y\ge9\\z\ge1951\\x+y=2016-z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow11\le x+y\le65\)

Đặt \(x+y=a\Rightarrow11\le a\le65\)

\(4P\le a^2\left(2016-a\right)=-a^3+2016a^2-8242975+8242975\)

\(4P\le\left(65-a\right)\left[\left(a^2-65^2\right)-1951\left(a-11\right)-144051\right]+8242975\le8242975\)

\(\Rightarrow P\le\dfrac{8242975}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left[{}\begin{matrix}x=y=\dfrac{65}{2}\\z=1951\end{matrix}\right.\)

Áp dụng BĐT Cô-si với ba số x,y,z không âm :

\(\dfrac{x+y+z}{3}\ge\sqrt[3]{xyz}\\ \Rightarrow\dfrac{2016}{3}= 672\ge\sqrt[3]{xyz}\\ \Leftrightarrow xyz \le(672)^3\\ \)

Dấu = xảy ra khi x = y = z = 672

Vậy GTLN của xyz là 672³ khi x = y = z = 672

a)

HPT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4x+8y=0(1)\\ 4x+2y=-3(2)\end{matrix}\right.\)

Lấy $(1)-(2)$ ta thu được: $8y-2y=3$

$\Leftrightarrow 6y=3\Leftrightarrow y=\frac{1}{2}$

Khi đó: $x=\frac{-4y}{2}=-2y=-1$

Vậy..........

b)

HPT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x-y=-4(1)\\ 2x+4y=-6(2)\end{matrix}\right.\)

Lấy $(1)-(2)$ suy ra: $-y-4y=-4-(-6)$

$\Leftrightarrow -5y=2\Rightarrow y=\frac{-2}{5}$

$\Rightarrow x=-3-2y=\frac{-11}{5}$

c)

HPT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} xy+2x-15y-30=xy\\ xy-x+15y-15=xy\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x-15y=30\\ -x+15y=15\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x-15y=30(1)\\ -2x+30y=30(2)\end{matrix}\right.\)

Lấy $(1)+(2)$ suy ra $-15y+30y=60$

$\Leftrightarrow 15y=60\Leftrightarrow y=4$

$\Rightarrow x=15y-15=45$

Vậy.......

d)

HPT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{2}{x}+\frac{2}{y}=10(1)\\ \frac{2}{x}+\frac{5}{y}=7(2)\end{matrix}\right.\)

Lấy \((2)-(1)\Rightarrow \frac{3}{y}=7-10=-3\Rightarrow y=-1\)

\(\Rightarrow \frac{1}{x}=5-\frac{1}{y}=5-\frac{1}{-1}=6\Rightarrow x=\frac{1}{6}\)

Vậy........

Câu 1 \(\left\{{}\begin{matrix}2x+2y+2xy=10\left(1\right)\\x^2+y^2=5\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

=>2.(2) - (1)=\(\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(x-y\right)^2=0\)

<=>\(\left\{{}\begin{matrix}x-1=0\\y-1=0\\x-y=0\end{matrix}\right.\) =>x=y=1

Câu 2 dùng vi-et đảo

Câu 3 rút x=y+1 từ pt trên rồi thế xuống dưới

Câu 4 lấy pt trên cộng pt dưới rồi xét dấu GTTĐ

Lời giải:

a.

Từ $x+y=2\Rightarrow y=2-x$. Thay vào PT(2):
$(m+1)x+m(2-x)=7$

$\Leftrightarrow x+2m=7$

$\Leftrightarrow x=7-2m$

$y=2-x=2-(7-2m)=2m-5$

Vậy hpt có nghiệm $(x,y)=(7-2m, 2m-5)(*)$

Nếu $x,y$ có 1 số $\geq 0$, một số $\leq 0$ thì $xy\leq 0< 1$

Nếu $x,y$ cùng $\geq 0$ thì áp dụng BĐT Cô-si:

$2=x+y\geq 2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\leq 1$

Vậy tóm lại $xy\leq 1(**)$
Từ $(*); (**)$ suy ra với mọi $m$ thì hpt luôn có nghiệm $x,y$ thỏa mãn $xy\leq 1$

b.

$xy>0$

$\Leftrightarrow (7-2m)(2m-5)>0$

$\Leftrightarrow 7> 2m> 5$

$\Leftrightarrow \frac{7}{2}> m> \frac{5}{2}$

Do $m$ nguyên nên $m=3$

Thử lại thấy đúng.

a,\(\left\{{}\begin{matrix}x=35\left(y+2\right)\\x=50\left(y-1\right)\end{matrix}\right.\)

suy ra :35(y+2)=50(y-1)

=>35y+70=50y-50

=>y=8

=>x=350

vậy :\(\left\{{}\begin{matrix}x=350\\y=8\end{matrix}\right.\)

b.\(\left\{{}\begin{matrix}y=2x-3\\y=x-1\end{matrix}\right.\)

suy ra: 2x-3=x-1

=>x=2

=>y=1

vậy \(\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=1\end{matrix}\right.\)

c.\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+14\right).\left(y-2\right)=xy\\\left(x-4\right).\left(y-1\right)=xy\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}-2x+14=0\\-x-y=0\end{matrix}\right.\)

vậy:\(\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=0\end{matrix}\right.\)

d,\(\left\{{}\begin{matrix}y=\frac{6-x}{4}\\y=\frac{4x-5}{3}\end{matrix}\right.\)

x=2

y=1

vậy...

\(\left\{{}\begin{matrix}x>y\\xy=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y>0\\xy=1\end{matrix}\right.\)

\(P=\dfrac{x^2+y^2}{x-y}=\dfrac{\left(x-y\right)^2+2xy}{x-y}=x-y+\dfrac{2xy}{x-y}=x-y+\dfrac{2}{x-y}\ge2\sqrt{\left(x-y\right)\left(\dfrac{2}{x-y}\right)}=2\sqrt{2}\Rightarrow MinP=2\sqrt{2}\)

\(\begin{cases} xy=20\\ x+y=9 \end{cases} \)

\(\Leftrightarrow\)\(\begin{cases} xy=20 (1)\\ x=9-y (2) \end{cases} \)

Thế (2) vào (1) ta được:

\((9-y)y=20\)

\(\Leftrightarrow\)\(9y-y^2-20=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\begin{cases} y=4\\ y=5 \end{cases} \)

Với y = 4 thay vào (2) ta được x = 5

Với y = 5 thay vào (2) ta được x = 4