Bài làm:

Ta có: \(4x^2+2y^2+4xy-4x-8y+15\)

\(=\left(4x^2+4xy+y^2\right)-2\left(2x+y\right)+1+y^2-6y+9+5\)

\(=\left(2x+y\right)^2-2\left(2x+y\right)+1+\left(y-3\right)^2+5\)

\(=\left(2x+y-1\right)^2+\left(y-3\right)^2+5\ge5\left(\forall x,y\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}\left(2x+y-1\right)^2=0\\\left(y-3\right)^2=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=-1\\y=3\end{cases}}\)

Vậy \(Min=5\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-1\\y=3\end{cases}}\)

4x² + 2y² + 4xy - 4x - 8y + 15

= [ ( 4x² + 4xy + y² ) - 2( 2x + y ) + 1 ] + ( y² - 6y + 9 ) + 5 

= ( 2x + y - 1 )² + ( y - 3 )² + 5

\(\hept{\begin{cases}\left(2x+y-1\right)^2\ge0\forall x,y\\\left(y-3\right)^2\ge0\forall y\end{cases}\Rightarrow}\left(2x+y-1\right)^2+\left(y-3\right)^2+5\ge5\forall x,y\)

Đẳng thức xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}2x+y-1=0\\y-3=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-1\\y=3\end{cases}}\)

Vậy GTNN của biểu thức = 5 <=> x = -1 ; y = 3

Ta có:\(4x^2+2y^2+4xy-4x-8y+15\)

   \(=2\left(x^2+2xy+y^2\right)-8\left(x+y\right)+8+2x^2+4x+2+5\)

   \(=2\left(x+y\right)^2-2.4\left(x+y\right)+2.4+2\left(x^2+2x+1\right)+5\)

   \(=2\left(x+y-2\right)^2+2\left(x+1\right)^2+5\ge5\forall x,y\)

Dấu"=" xảy ra khi \(\orbr{\begin{cases}2\left(x+y-2\right)^2=0\\2\left(x+1\right)^2=0\end{cases}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=-1\\y=3\end{cases}}}\)

Vậy \(Min=5\)khi \(x=-1;y=3\)

\(\left|2x-1\right|+3\ge3\Leftrightarrow\dfrac{3+\left|2x-1\right|}{14}\ge\dfrac{3}{14}\)

Dấu \("="\Leftrightarrow2x-1=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\)

\(\dfrac{-4x^2+4x}{15}=\dfrac{-4x^2+4x-1+1}{15}=\dfrac{-\left(2x-1\right)^2+1}{15}\)

Ta có \(-\left(2x-1\right)^2+1\le1\Leftrightarrow\dfrac{-\left(2x-1\right)^2+1}{15}\le\dfrac{1}{15}\)

Dấu \("="\Leftrightarrow2x-1=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\)

Có biểu tượng $\sum$ hỗ trợ viết công thức toán. Lần sau bạn lưu ý sử dụng, không viết công thức kiểu như trên bài.

Lời giải:

$x^2+y^2-4x+6y+15=(x^2-4x+4)+(y^2+6y+9)+2$

$=(x-2)^2+(y+3)^2+2$

$\geq 0+0+2=2$

Vậy gtnn của biểu thức là $2$. Giá trị này đạt tại $x-2=y+3=0$

$\Leftrightarrow x=2; y=-3$

Ta có: \(x^2+y^2-4x+6y+15\)

\(=x^2-4x+4+y^2+6y+9+2\)

\(=\left(x-2\right)^2+\left(y+3\right)^2+2\ge2\forall x,y\)

Dấu '=' xảy ra khi x=2 và y=-3

`A=(2x)^2+2.2x.1+1^2+1=(2x+1)^2+1`

`=> A_(min)=1 <=>x=-1/2`

`B=(\sqrt2x)^2-2.\sqrt2 x . \sqrt2/2 + (\sqrt2/2)^2 + 1/2`

`=(\sqrt2x-\sqrt2/2)^2+1/2`

`=> B_(min)=1/2 <=> x=1/2`

`C=-(x^2-2.x.3+3^2+6)=-(x-3)^2-6`

`=> C_(max)=-6 <=> x=3`

2x2+4x=2(x2+2x+1)−2=2(x+1)2−12x2+4x=2(x2+2x+1)−2=2(x+1)2−1

2(x2+1)≥0⇒2(x2+1)−2≥−22(x2+1)≥0⇒2(x2+1)−2≥−2⇒min=−2⇔x+1=0⇒x=−1

Ta có:

\(2x^2+4x+15\)

\(=2\left(x^2+2x+1\right)+13\)

\(=2\left(x+1\right)^2+13\)

\(\ge13\) Dấu "=" xảy ra tại \(x=-1\)

BÙI THỊ YẾN NHI Copy mak cx stupid

cj mình dạy đó

\(C=\left(x+2\right)^2+3\ge3\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi x=-2

\(C=x^2+4x+7=\left(x^2+4x+4\right)+3=\left(x+2\right)^2+3\ge3\)

Dấu '=' xảy ra khi x=-2

Vậy \(C_{min}=3\Leftrightarrow x=-2\)

\(D=x^2+6x+15=\left(x^2+6x+9\right)+6=\left(x+3\right)^2+6\ge6\)

Dấu '=' xảy ra khi x=-3

Vậy\(D_{min}=6\Leftrightarrow x=-3\)

A=x²-4x+7

= x²-4x+4+3

= (x-2)²⁺³

Vì (x+2)^2>_/ 0

Nên (x-2)²+3>_/3

Vậy MAX của A=3 khi x-2=0 => x=2

\(2x^2+4x+15=2.\left(x^2+2x+1\right)+13=2.\left(x+1\right)^2+13\ge13,\forall x\inℝ\\ \)

Dấu "=" xảy ra <=> x=-1

Vậy \(Min\left(A\right)=13\Leftrightarrow x=-1\)

2x²+4x+15

=2(x²+2x+1)+13

=2(x+1)²+13

Có 2(x+1)²\(\ge\)0 \(\forall x\in R\)

=>2(x+1)²+13\(\ge13\forall x\in R\)

Vậy GTNN của phương trình trên là 13

\(2x^2+4x+15=2\left(x^2+2x+\frac{15}{2}\right)\)

\(=2\left(x^2+2x+1+\frac{13}{2}\right)\)

\(=2\left(x+1\right)^2+13\)

Vì:\(2\left(x+1\right)^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow2\left(x+1\right)^2+13\ge13\forall x\)

Dấu = xảy ra khi \(2\left(x+1\right)^2=0\Rightarrow x=-1\)

vậy gtnn của bt là 13 tại x=-1

Lời giải:
$C=-15-x^2+6x=-6-(x^2-6x+9)=-6-(x-3)^2$

Vì $(x-2)^2\geq 0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$

$\Rightarrow C\leq -6< 0$

Vậy $C$ luôn âm.