a.

Ta có: \(m^2+1\ne0;\forall m\Rightarrow\) hàm số là hàm bậc nhất với mọi m

b.

\(m^2+1\ge1>0\) ; \(\forall m\Rightarrow\) hàm đồng biến với mọi m

- Ta có : \(x^2-\left(m-2\right)x-3=0\)

- Ta thấy : \(ac=1\left(-3\right)=-3< 0\)

=> Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt .

- Theo vi ét : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m-2\\x_1x_2=-3\end{matrix}\right.\)

- Ta có : \(\sqrt{x^2_1+2020}-x_1=\sqrt{x^2_2+2020}+x_2\)

=> \(\sqrt{x^2_1+2020}-\sqrt{x^2_2+2020}=x_1+x_2\)

=> \(x^2_1+2020+x_2^2+2020-2\sqrt{\left(x^2_1+2020\right)\left(x^2_2+2020\right)}=x^2_1+x^2_2+2x_1x_2\)

=> \(4046=2\sqrt{\left(x^2_1+2020\right)\left(x^2_2+2020\right)}\)

=> \(4092529=\left(x^2_1+2020\right)\left(x^2_2+2020\right)\)

=> \(x^2_1x^2_2+2020x_1^2+2020x^2_2+4080400=4092528\)

=> \(2020x_1^2+2020x^2_2=12120\)

=> \(x^2_1+x^2_2=6\)

=> \(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=6\)

=> \(m^2-4m+4-2\left(-3\right)=6\)

=> \(m^2-4m+4=0\)

=> \(m=2\)

Vậy ....

\(x_1x_2=-3< 0\Rightarrow\)pt đã cho có 2 nghiệm trái dấu

\(\Leftrightarrow\sqrt{x_1^2+2020}-x_2=x_1+\sqrt{x_2^2+2020}\)

\(\Rightarrow x_1^2+2020+x_2^2-2x_2\sqrt{x_1^2+2020}=x_1^2+x_2^2+2020+2x_1\sqrt{x_2^2+2020}\)

\(\Rightarrow-x_2\sqrt{x_1^2+2020}=x_1\sqrt{x_2^2+2020}\)

\(\Rightarrow x_2^2\left(x_1^2+2020\right)=x_1^2\left(x_2^2+2020\right)\)

\(\Rightarrow x_1^2=x_2^2\Rightarrow x_1=-x_2\)

\(\Rightarrow x_1+x_2=0\Rightarrow m-2=0\Rightarrow m=2\)

Có thể thế vào tìm nghiệm và thay vào điều kiện đề bài để thử cho chặt chẽ hơn (do các bước biến đổi ko tương đương)

Đặt \(\sqrt{x^2+2020}=a>0\Rightarrow a^2-x^2=2020\)

Phương trình trở thành:

\(x^4+a=a^2-x^2\)

\(\Leftrightarrow x^4-a^2+x^2+a=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+a\right)\left(x^2-a+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a=x^2+1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2+2020}=x^2+1\)

\(\Leftrightarrow x^2+2020=x^4+2x^2+1\)

\(\Leftrightarrow x^4+x^2-2019=0\)

Bạn tự giải nốt, đơn giản rồi, chỉ là số quá to

ĐKXĐ: \(x\ge0\)

\(x^2+1+\left(2-m\right)x-2\sqrt{x\left(x^2+1\right)}=0\)

Với \(x=0\) ko phải nghiệm, với \(x>0\) chia 2 vế cho x:

\(\Rightarrow\dfrac{x^2+1}{x}+2-m-2\sqrt{\dfrac{x^2+1}{x}}=0\)

Đặt \(\sqrt{\dfrac{x^2+1}{x}}=t\ge\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow t^2-2t+2=m\)

Xét hàm \(f\left(t\right)=t^2-2t+m\) khi \(t\ge\sqrt{2}\)

\(\left\{{}\begin{matrix}a=1>0\\-\dfrac{b}{2a}=1< \sqrt{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến khi \(t\ge\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow f\left(t\right)\ge f\left(\sqrt{2}\right)=4-2\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow\) Pt có nghiệm khi \(m\ge4-2\sqrt{2}\)

\(\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{\left(x+1\right)^2}}=\sqrt{\dfrac{x^2+\left(x+1\right)^2+x^2\left(x+1\right)^2}{x^2\left(x+1\right)^2}}=\sqrt{\dfrac{x^2\left(x+1\right)^2+2x^2+2x+1}{x^2\left(x+1\right)^2}}\)

\(=\sqrt{\dfrac{\left(x^2+x\right)^2+2\left(x^2+x\right)+1}{\left(x^2+x\right)^2}}=\sqrt{\dfrac{\left(x^2+x+1\right)^2}{\left(x^2+x\right)^2}}=\dfrac{x^2+x+1}{x^2+x}\)

\(=1+\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}\)

\(\Rightarrow f\left(1\right).f\left(2\right)...f\left(2020\right)=5^{1+1-\dfrac{1}{2}+1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+1+\dfrac{1}{2020}-\dfrac{1}{2021}}\)

\(=5^{2021-\dfrac{1}{2021}}\)

\(\Rightarrow\dfrac{m}{n}=2021-\dfrac{1}{2021}=\dfrac{2021^2-1}{2021}\)

\(\Rightarrow m-n^2=2021^2-1-2021^2=-1\)

ủa bạn j ơi chữ x chành bành ra trên đề kìa mà bạn bảo tìm làm j nữa

Tham khảo tại: Câu hỏi của Lương Đức Hưng - Toán lớp 8 | Học trực tuyến

\(M=x^2-2xy+y^2+2x-2y+1+y^2-8y+16+2003=\left(x-y+1\right)^2+\left(y-4\right)^2+2003\ge2003\)

Vậy MAX=2003 đẳng thức xảy ra khi y=4, x=3