D

a) Hai điểm đối xứng nhau qua trục hoành thì có hoành độ bằng nhau và tung độ đối nhau.

M₀ (x₀; y₀)=> A(x₀;-y₀)

b) Hai điểm đối xứng với nhau qua trục tung thì có tung độ bằng nhau còn hoành độ thì đối nhau.

M₀ (x₀; y₀) => B(-x₀;y₀)

c) Hai điểm đối xứng nhau qua gốc O thì các tọa độ tương ứng đối nhau.

M₀ (x₀; y₀) => C(-x₀;-y₀)

a) Dựa vào hình vẽ ta thấy \(A\left( {1; - 3} \right)\)

b) Dựa vào hình vẽ ta thấy \(B\left( { - 1; - 3} \right)\)

c) Dựa vào hình vẽ ta thấy \(C\left( {1;3} \right)\)

a) Hai điểm đối xứng nhau qua trục Ox sẽ có cùng hoành độ và tung độ là hai số đối nhau.
\(M\left(4;3\right)\)\(\Rightarrow A\left(4;-3\right)\).

b) Hai điểm đối xứng qua trục Oy sẽ có cùng tung độ và hoành độ là hai số đối nhau.
\(M\left(4;3\right)\)\(\Rightarrow A\left(-4;3\right)\).

c) \(A\left(x,y\right)\) có điểm A' đối xứng qua gốc O thì \(A'\left(x';y'\right)\).
\(M\left(4;3\right)\Rightarrow C\left(-4;-3\right)\).

a: B đối xứng A qua trục tung Oy

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x_B=-x_A=-2\\y_B=y_A=1\end{matrix}\right.\)

Vậy: B(-2;1)

b: C đối xứng A qua trục Ox

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x_C=x_A=2\\y_C=-y_A=-1\end{matrix}\right.\)

Vậy: C(2;-1)

c: D đối xứng A qua O

=>O là trung điểm của AD

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x_A+x_D=0\\y_A+y_D=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_D=-x_A=-2\\y_D=-y_A=-1\end{matrix}\right.\)

Vậy: D(-2;-1)

d: (d): y=2x-1

=>(d): 2x-y-1=0

E đối xứng A qua (d)

=>(d) là đường trung trực của AD

Gọi (d2): ax+by+c=0 là phương trình đường thẳng AD

(d) là trung trực của AD

=>(d) vuông góc (d2) tại trung điểm của AD(1) và (d2) đi qua A(2;1)

(d): 2x-y-1=0

=>(d2): x+2y+c=0

Thay x=2 và y=1 vào (d2), ta được:

\(c+2+2\cdot1=0\)

=>c=-4

=>(d2): x+2y-4=0

Tọa độ giao điểm F của (d) với (d2) là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x+2y-4=0\\2x-y-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+2y=4\\2x-y=1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2x+4y=8\\2x-y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}5y=7\\x+2y=4\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{7}{5}\\x=4-2y=4-\dfrac{14}{5}=\dfrac{6}{5}\end{matrix}\right.\)

(1) suy ra F là trung điểm của AE

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{6}{5}=\dfrac{x_A+x_E}{2}=\dfrac{2+x_E}{2}\\\dfrac{7}{5}=\dfrac{y_A+y_E}{2}=\dfrac{y_E+1}{2}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x_E+2=\dfrac{12}{5}\\y_E+1=\dfrac{14}{5}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow E\left(\dfrac{2}{5};\dfrac{9}{5}\right)\)

 Võ Hồng Nhung                                                                                                                 

               1 phút trước (15:05)

Cho tam giác ABC. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, AC, AB. Gọi O là 1 điểm bất kì. A' là điểm đối xứng với O qua D, B' là điểm đối xứng với O qua E, C' là điểm đối xứng với O qua F. Chứng minh AA', BB', CC' đồng quy tại 1 điểm.

a) H là hình chiếu vuông góc của M trên trục Ox nên tọa độ điểm H là \(H\left( {{x_0};0} \right)\)

b) M’ đối xứng với M qua  trục Ox nên H là trung điểm của MM’

Suy ra \({x_{M'}} = 2{x_H} - {x_M} = 2{x_0} - {x_0} = {x_0};{y_{M'}} = 2{y_H} - {y_M} = 2.0 - {y_0} =  - {y_0}\)

Vậy tọa độ điểm M’  là \(\left( {{x_0}; - {y_0}} \right)\)

c) K là hình chiếu vuông góc của M trên trục Oy  nên tọa độ điểm K  là \(K\left( {0;{y_0}} \right)\)

d) M’’ đối xứng với M qua  trục Oy nên K là trung điểm của MM’’

Suy ra \({x_{M''}} = 2{x_K} - {x_M} = 2.0 - {x_0} =  - {x_0};{y_{M''}} = 2{y_K} - {y_M} = 2{y_0} - {y_0} = {y_0}\)

Vậy tọa độ điểm M''  là \(\left( { - {x_0};{y_0}} \right)\)

e) C đối xứng với M qua  gốc tọa độ nên O là trung điểm của MC

Suy ra \({x_C} = 2{x_O} - {x_M} = 2.0 - {x_0} =  - {x_0};{y_C} = 2{y_O} - {y_M} = 2.0 - {y_0} =  - {y_0}\)

Vậy tọa độ điểm C  là \(\left( { - {x_0}; - {y_0}} \right)\)

54. Cho góc vuông xOy, điểm A nằm trong góc đó. Gọi B là điểm đối xứng với A qua Ox, gọi C là điểm đối xứng với A qua Oy. Chứng mình rằng điểm B đối xứng với điểm C qua O.

Bài giải:

Cách 1:

B đối xứng với A qua Ox nên Ox là đường trung trực của AB => OA = OB

C đối xứng với A qua Oy nên OY là đường trung trực của AC => OA = OC

Suy ra OB = OC (1)

∆AOB cân tại O => = =

∆AOC cân tại O => = =

Mà + = 2( + ) = 2.90⁰ = 180⁰

=> B, O, C thẳng hàng (2)

Từ (1) và (2) suy ra B đối xứng với C qua O.

Cách 2:

A đối xứng với B qua Ox và O nằm trên Ox nên OA đối xứng với OB qua OX suy ra

OA = OB.

A đối xứng với C qua Oy và O nằm trren Oy nên OA đối xứng với OC qua Oy.

Suy ra OA = OC

Do đó OB = OC (1)

và + = 2( + ) = 2.90⁰ = 180⁰

=>B, O, C thẳng hàng (2)

Từ (1) và (2) suy ra B đối xứng với C qua O.

+ B đối xứng với A qua Ox

⇒ Ox là đường trung trực của AB

⇒ OA = OB (1)

+ C đối xứng với A qua Oy

⇒ Oy là đường trung trực của AC

⇒ OA = OC (2)

Từ (1) và (2) suy ra OB = OC (*).

+ Xét ΔOAC cân tại O (do OA = OC) có Oy là đường trung trực

⇒ Oy đồng thời là đường phân giác

Xét ΔOAB cân tại O có Ox là đường trung trực

⇒ Ox đồng thời là đường phân giác

⇒ B, O, C thẳng hàng (**)

Từ (*) và (**) suy ra O là trung điểm BC

⇒ B đối xứng với C qua O.