Những câu hỏi liên quan
LT
Xem chi tiết
H24
Xem chi tiết
DN
14 tháng 3 2020 lúc 19:39

c) <=> b+a/ab>=4/a+b

<=> (a+b)^2>=4ab (vì a,b dương)

<=>a^2+2ab+b^2>=4ab

<=>a^2-2ab+b^2>=0

<=>(a-b)^2>=0 (luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra khi a=b

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa
LD
Xem chi tiết
TN
13 tháng 4 2017 lúc 18:14

Ta có: \(\frac{2a^2+3b^2}{2a^3+3b^3}\left(a+b\right)=1+ab\frac{2a+3b}{2a^3+3b^3}\)

Áp dụng BĐT Holder ta có: 

\(\left(2a^3+3b^3\right)\left(2+3\right)^2\ge\left(2a+3b\right)^3\)

Vậy ta có thể viết lại BĐT cần chứng minh như sau;

\(VT\left(a+b\right)\le2+25ab\left(\frac{1}{\left(2a+3b\right)^2}+\frac{1}{\left(2b+3a\right)^2}\right)\)

Nó đủ để ta có thể thấy rằng 

\(25ab\left[\left(2b+3a\right)^2+\left(2a+3b\right)^2\right]\le2\left(2a+3b\right)^2\left(2b+3a\right)^2\)

\(\Leftrightarrow59\left(a^2-b^2\right)^2+13\left(a^4+b^4-a^3b-ab^3\right)\ge0\)

BĐT cuối cùng đúng nên ta có ĐPCM

Bình luận (0)
ND
3 tháng 5 2020 lúc 9:32

ok jjj

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa
TL
3 tháng 5 2020 lúc 9:33

Đặt \(\frac{a}{b}=t\)do a>0, b>0 nên t>0

Khi đó BĐT \(\frac{2a^2+3b^2}{2a^3+3b^3}+\frac{2b^2}{3b^3}+\frac{2b^2+3a^2}{2b^3+3a^2}\le\frac{4}{a+b}\left(1\right)\)trở thành

\(\frac{2t^2+3}{2t^3+3}+\frac{2+3t^2}{3+3t^3}\le\frac{4}{t+1}\)

\(\Leftrightarrow\left(2t^2+3\right)\left(2+3t^2\right)\left(t+1\right)+\left(2+3t^2\right)\left(2t^2+1\right)\left(t+1\right)\le4\left(2t^3+3\right)\left(2+3t^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(t+1\right)\left(12t^5+13t^3+13t^2+12\right)\le4\left(6t^6+13t^3+6\right)\)

\(\Leftrightarrow12\left(t^6-t^5-t+1\right)-13t^2\left(t^2-12t+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow12\left(t-1\right)^2\left[12\left(t^4+t^3+t^2+t+1\right)-13t^2\right]\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(t-1\right)^2\left[12\left(t^4+t^3+t^2+t+1\right)-13t^2\right]\ge0\left(2\right)\)

Ta có \(12\left(t^4+t^3+t^2+t+1\right)-13t^2=12t^4+12t\left(t-1\right)^2+23t^2+12>0\forall t>0\)

BĐT (2) đúng với mọi t>0

=> BĐT (1) đúng với mọi a,b>0

Dấu "=" xảy ra <=> t=1 <=> a=b

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa
NT
Xem chi tiết
NT
27 tháng 6 2022 lúc 21:24

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a^2-2a+4}{a^2+2a+4}>=\dfrac{1}{3}\\\dfrac{a^2-2a+4}{a^2+2a+4}< =3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3a^2-6a+12-a^2-2a-4>=0\\a^2-2a+4-3a^2-6a-12< =0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2a^2-8a+8>=0\\-2a^2-8a-8< =0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2\left(a-2\right)^2>=0\left(đúng\right)\\-2\left(a+2\right)^2< =0\left(đúng\right)\end{matrix}\right.\)

=>ĐPCM

Bình luận (0)
H24
Xem chi tiết
TK
25 tháng 3 2020 lúc 15:55

Ta CM BĐT phụ sau: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

Ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{2}{\sqrt{ab}},a+b\ge2\sqrt{ab}\)( co si với a,b>0)

Suy ra \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(a+b\right)\ge4\RightarrowĐPCM\)\(\Rightarrow\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(1\right)\)

a/Áp dụng (1) có

\(\frac{1}{a+b+2c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)\left(2\right)\).Tương tự ta cũng có:

\(\frac{1}{b+c+2a}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)\left(3\right),\frac{1}{c+a+2b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+b}\right)\left(4\right)\)

Cộng (2),(3) và (4) có \(VT\le\frac{1}{4}.\left(6+6\right)=3\left(ĐPCM\right)\)

b/Áp dụng (1) có:

\(\frac{1}{3a+3b+2c}=\frac{1}{\left(a+b+2c\right)+2\left(a+b\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+b+2c}+\frac{1}{2\left(a+b\right)}\right)\left(5\right)\)

Tương tự có: \(\frac{1}{3a+2b+3c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+c+2b}+\frac{1}{2\left(a+c\right)}\right)\left(6\right)\)

\(\frac{1}{2a+3b+3c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{2\left(b+c\right)}\right)\left(7\right)\)

Cộng (5),(6) và (7) có:

\(VT\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+b+2c}+\frac{1}{a+c+2b}+\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\right)\right)\le\frac{1}{4}.9=\frac{3}{2}\)

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa
AP
Xem chi tiết
CP
Xem chi tiết
NL
10 tháng 5 2020 lúc 0:58

\(\Leftrightarrow\frac{\left(2a^2+3b^2\right)\left(a+b\right)}{2a^3+3b^3}+\frac{\left(2b^2+3a^2\right)\left(a+b\right)}{2b^3+3a^3}\le4\)

\(\Leftrightarrow\frac{2a^3+3b^3+2a^2b+3ab^2}{2a^3+3b^3}+\frac{2b^3+3a^3+2ab^2+3ab^2}{2b^3+3a^3}\le4\)

\(\Leftrightarrow\frac{2a^2b+3ab^2}{2a^3+3b^3}+\frac{2ab^2+3ab^2}{2b^3+3a^3}\le2\)

\(\Leftrightarrow\frac{2\left(\frac{a}{b}\right)^2+3\left(\frac{a}{b}\right)}{2\left(\frac{a}{b}\right)^3+3}+\frac{2\left(\frac{a}{b}\right)+3\left(\frac{a}{b}\right)^2}{3\left(\frac{a}{b}\right)^3+2}\le2\)

Đặt \(\frac{a}{b}=x>0\Rightarrow\frac{2x^2+3x}{2x^3+3}+\frac{3x^2+2x}{3x^3+2}\le2\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\left(12x^4+12x^3-x^2+12x+12\right)\ge0\) (luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=1\) hay \(a=b\)

Hơi trâu bò :D

Bình luận (0)
PL
Xem chi tiết
TN
30 tháng 6 2017 lúc 16:54

Đặt \(x=\sqrt{\frac{b}{a}};y=\sqrt{\frac{c}{b}};z=\sqrt{\frac{a}{c}}\) thì \(xyz=1\) và BĐT cần chứng minh là 

\(\sqrt{\frac{2}{x^2+1}}+\sqrt{\frac{2}{y^2+1}}+\sqrt{\frac{2}{z^2+1}}\le3\)

Giả sử \(x\le y\le z\Rightarrow\hept{\begin{cases}xy\le1\\z\ge1\end{cases}}\) ta có:

\(\left(\sqrt{\frac{2}{x^2+1}}+\sqrt{\frac{2}{y^2+1}}\right)^2\le2\left(\frac{2}{x^2+1}+\frac{2}{y^2+1}\right)\)

\(=4\left[1+\frac{1-x^2y^2}{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)}\right]\)

\(\le4\left[1+\frac{1-x^2y^2}{\left(xy+1\right)^2}\right]=\frac{8}{xy+1}=\frac{8z}{z+1}\)

\(\Rightarrow\sqrt{\frac{2}{x^2+1}}+\sqrt{\frac{2}{y^2+1}}\le2\sqrt{\frac{2z}{z+1}}\)

Nên còn phải chứng minh \(2\sqrt{\frac{2z}{z+1}}+\frac{2}{z+1}\le3\)

\(\Leftrightarrow1+3z-2\sqrt{2z\left(z+1\right)}\ge0\Leftrightarrow\left(\sqrt{2z}-\sqrt{z+1}\right)^2\ge0\)

BĐT cuối đúng hay ta có ĐPCM

Bình luận (0)
BL
Xem chi tiết
NL
17 tháng 11 2019 lúc 18:32

Câu 1: \(P=\sum\frac{1}{\left(1+\frac{1}{x}\right)^2}\) đặt \(\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z}\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow abc=1\)

Nó chính là dòng 5 trở đi của bài 4 này, ko làm lại nữa nhé:

Câu hỏi của bach nhac lam - Toán lớp 9 | Học trực tuyến

Câu 2:

\(\frac{a^3}{\left(a^2+b^2+a^2\right)\left(a^2+a^2+c^2\right)}\le\frac{a^3}{\left(a^2+ab+ac\right)^2}=\frac{a}{\left(a+b+c\right)^2}\)

Tương tự, cộng lại và rút gọn sẽ có đpcm

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa
BL
17 tháng 11 2019 lúc 17:54

Vũ Minh Tuấn, Băng Băng 2k6, Phạm Lan Hương, Pumpkin Night, No choice teen, HISINOMA KINIMADO,

tth, Nguyễn Lê Phước Thịnh, Chu Tuấn Minh, Lê Thị Hồng Vân, @Trần Thanh Phương, @Nguyễn Việt Lâm,

@Akai Haruma

giúp e vs ạ! thanks trước

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa