\(\Leftrightarrow2\left(cos^2x-sin^2x\right)+sinx.cosx\left(sinx+cosx\right)=m\left(sinx+cosx\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(2cosx-2sinx\right)\left(sinx+cosx\right)+sinx.cosx\left(sinx+cosx\right)=m\left(sinx+cosx\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx+cosx=0\left(\text{vô nghiệm trên đoạn xét}\right)\\2cosx-2sinx+sinx.cosx=m\left(1\right)\end{matrix}\right.\) 

Xét (1), đặt \(t=cosx-sinx=\sqrt{2}cos\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}t\in\left[-1;1\right]\\sinx.cosx=\dfrac{1-t^2}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow2t+\dfrac{1-t^2}{2}=m\)

Xét hàm \(f\left(t\right)=-\dfrac{1}{2}t^2+2t+\dfrac{1}{2}\) trên \(\left[-1;1\right]\)

\(-\dfrac{b}{2a}=2\notin\left[-1;1\right]\) ; \(f\left(-1\right)=-2\) ; \(f\left(1\right)=2\)

\(\Rightarrow-2\le f\left(t\right)\le2\Rightarrow-2\le m\le2\)

 Xét f(x) = cos2x - sinx + 2 trên các khoảng 

Đặt \(f\left(x\right)=3x^4-3x^3-5x^2+2x+2\)

Hiển nhiên \(f\left(x\right)\) liên tục trên R cũng như mọi khoảng con của nó

\(f\left(-1\right)=1>0\)

\(f\left(-\dfrac{3}{4}\right)=-\dfrac{25}{256}< 0\)

\(f\left(0\right)=2>0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(-1\right).f\left(-\dfrac{3}{4}\right)< 0\\f\left(-\dfrac{3}{4}\right).f\left(0\right)< 0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow f\left(x\right)\) có ít nhất 2 nghiệm thuộc (-1;0) nên có ít nhất 2 nghiệm thuộc (-1;1)

Tham khảo:

Xét hàm số f ( x )   =   x 5   −   5 x   –   1 trên các đoạn [−2; −1], [−1; 0], [0; 3]

Đặt f(x) = 2x3 – 6x + 1

TXĐ: D = R

f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên R.

Ta có: f(-2) = 2.(-2)3 – 6(-2) + 1 = - 3 < 0

            f(0) = 1 > 0

            f(1) = 2.13 – 6.1 + 1 = -3 < 0.

⇒ f(-2).f(0) < 0 và f(0).f(1) < 0

⇒ f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (-2; 0) và ít nhất một nghiệm thuộc (0 ; 1)

⇒ phương trình f(x) = 0 có ít nhất hai nghiệm.

Đặt \(f\left(x\right)=\left(m^2-m+1\right)x^4-3x^3-1\)

\(f\left(x\right)\) là hàm đa thức nên liên tục trên mọi khoảng trên R

\(f\left(0\right)=-1< 0\)

\(f\left(3\right)=81\left(m^2-m+1\right)-55=81\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{23}{4}>0\)

\(\Rightarrow f\left(0\right).f\left(3\right)< 0\Rightarrow\) pt có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(0;3\right)\)

\(f\left(-1\right)=m^2-m+2=\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{7}{4}>0\)

\(\Rightarrow f\left(-1\right).f\left(0\right)< 0\Rightarrow\) pt có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(-1;0\right)\)

\(\Rightarrow\) Pt có ít nhất 2 nghiệm thuộc \(\left(-1;3\right)\Rightarrow\) có ít nhất 2 nghiệm trên \(\left(-5;5\right)\)