Ta có: 

\(I=\int\limits^1_0\dfrac{x+1}{\left(x^2+1\right)\sqrt{x^3+1}}dx+\int\limits^{+\infty}_1\dfrac{x+1}{\left(x^2+1\right)\sqrt{x^3+1}}dx=I_1+I_2\)

Do hàm \(f\left(x\right)=\dfrac{x+1}{\left(x^2+1\right)\sqrt{x^3+1}}\) liên tục và xác định trên \(\left[0;1\right]\) nên \(I_1\) là 1 tích phân xác định hay \(I_1\) hội tụ

Xét \(I_2\) , ta có \(f\left(x\right)=\dfrac{x+1}{\left(x^2+1\right)\sqrt{x^3+1}}>0\) với mọi \(x\ge1\)

Đặt \(g\left(x\right)=\dfrac{1}{x^2\sqrt{x}}\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\dfrac{\left(x+1\right)x^2\sqrt{x}}{\left(x^2+1\right)\sqrt{x^3+1}}=1\) (1)

\(\int\limits^{+\infty}_1g\left(x\right)dx=\int\limits^{+\infty}_1\dfrac{1}{x^2\sqrt{x}}dx\) hội tụ do \(\alpha=\dfrac{5}{2}>1\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow I_2\) hội tụ

\(\Rightarrow I\) hội tụ

\(f\left(x\right)=\dfrac{x^2-1}{x^4+1}\) dương trên miền đã cho

Ta có: \(\dfrac{x^2-1}{x^4+1}\sim\dfrac{x^2}{x^4}=\dfrac{1}{x^2}\) khi \(x\rightarrow+\infty\)

Mà \(\int\limits^{+\infty}_1\dfrac{dx}{x^2}\) hội tụ nên \(\int\limits^{+\infty}_1\dfrac{x^2-1}{x^4+1}dx\) hội tụ

Khi \(x\rightarrow+\infty\) thì \(\dfrac{1}{x^5+2x}\sim\dfrac{1}{x^5}\)

Mà \(\int\limits^{+\infty}_1\dfrac{1}{x^5}dx\) hội tụ \(\Rightarrow\int\limits^{+\infty}_1\dfrac{1}{x^5+2x}dx\) hội tụ

đặt t = lnx

tôi ko biết \(\varepsilon\) trong bài là gì, tuy nhiên nếu nó là số bất kì thì xét 2 TH sau để biết đk t

TH1: \(\varepsilon\in\left(0;1\right)\)

TH2: \(\varepsilon>1\)

\(I=\int\limits^e_1xlnxdx+\int\limits^e_1\dfrac{lnx}{x}dx=I_1+I_2\)

Xét \(I_1\) , đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=lnx\\dv=xdx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\dfrac{dx}{x}\\v=\dfrac{x^2}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I_1=\dfrac{x^2}{2}lnx|^e_1-\int\limits^e_1\dfrac{x}{2}=\dfrac{e^2}{2}-\dfrac{e}{2}+\dfrac{1}{2}\)

Xét \(I_2=\int\limits^e_1\dfrac{lnx}{x}dx=\int\limits^e_1lnx.d\left(lnx\right)=\dfrac{ln^2x}{2}|^e_1=\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow I=\dfrac{e^2}{2}-\dfrac{e}{2}+1\)

*) So sánh ảnh ảo của một vật tạo bởi thấu kính hội tụ và thấu kính phân kì:

- Giống nhau: Cùng chiều với vật.

- Khác nhau:

+ Đối với thấu kính hội tụ thì ảnh lớn hơn vật và ở xa thấu kính hơn vật.

+ Đốì với thâu kính phân kì thì ảnh nhỏ hơn vật và ở gần thấu kính hơn vật.

*) Cách nhận biết nhanh chóng một thấu kính hội tụ hay phân kì: Đưa thấu kính lại gần dòng chữ trên trang sách. Nếu nhìn qua thấu kính thấy hình ảnh dòng chữ cùng chiều, to hơn so với khi nhìn trực tiếp thì đó là thấu kính hội tụ. Ngược lại, nếu nhìn thấy hình ảnh dòng chữ cùng chiều, nhỏ hơn so với nhìn trực tiếp thì đó là thẩu kính phân kì.