Đáp án A

Đó là nguyên lý của giới hạn kẹp

\(\left|f\left(x\right)\right|\le\left|x\right|\Rightarrow\lim\limits_{x\rightarrow0}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0}x=0\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow0}\left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2}\right)\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{x-1}{x^2}\)

\(=-\infty\) vì \(\left\{{}\begin{matrix}\lim\limits_{x\rightarrow0}x-1=0-1=-1< 0\\\lim\limits_{x\rightarrow0}x^2=0^2=0\end{matrix}\right.\)

\(lim_{x\rightarrow0+}\frac{\left(1+x\right)^n-1}{x}\)   

\(=lim_{x\rightarrow0+}\frac{\left(1+x\right)^n-1^n}{x}\)   

\(=lim_{x\rightarrow0+}\frac{\left(1+x-1\right)\left[\left(1+x\right)^{n-1}+\left(1+x\right)^{n-2}+...+\left(1+x\right)^0\right]}{x}\)   

\(=lim_{x\rightarrow0}\left[\left(1+x\right)^{n-1}+\left(1+x\right)^{n-2}+...\left(1+x\right)^0\right]\)    

\(=1^{n-1}+1^{n-2}+...+1^0\) 

Số số hạng 

\(\left(n-1-0\right):1+1=n\)   

Do mọi số hạng đều bằng 1 nên tổng là 

\(1\cdot n=n\)

\(\left|cos\frac{1}{x}\right|\le1\Rightarrow\left|x.cos\frac{1}{x}\right|\le\left|x\right|\)

Mà \(\lim\limits_{x\rightarrow0}\left|x\right|=0\Rightarrow\lim\limits_{x\rightarrow0}x.cos\frac{1}{x}=0\)

Bài này nếu ko sử dụng L'Hopital chắc ko biết đến bao giờ mới xong, bạn tham khảo nếu chưa học quy tắc này:

\(=\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{\frac{2}{cos^22x}-2cos2x}{3x^2}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{\frac{8sin2x}{cos^32x}+4sin2x}{6x}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{sin2x}{2x}\left(\frac{\frac{8}{cos^32x}+4}{3}\right)=\frac{12}{3}=4\)