-Vì 4n+5, 9n+7 đều là các số chính phương nên đặt \(4n+5=a^2;9n+7=b^2\)

\(\Rightarrow9\left(4n+5\right)=9a^2;4\left(9n+7\right)=4b^2\)

\(\Rightarrow36n+45=9a^2;36n+28=4b^2\)

\(\Rightarrow9a^2-4b^2=36n+45-\left(36n+28\right)=17\)

\(\Rightarrow\left(3a-2b\right)\left(3a+2b\right)=1.17\)

-Vì \(3a-2b< 3a+2b\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}3a-2b=1\\3a+2b=17\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=3\\b=4\end{matrix}\right.\)

-Vậy \(n=1\) thì 4n+5 và 9n+7 là các số chính phương.

a) \(4n-5⋮2n-1\)

\(\Rightarrow\left(4n-2\right)-3⋮2n-1\)

\(\Rightarrow2\left(2n-1\right)-3⋮2n-1\)

\(\Rightarrow-3⋮2n-1\)

\(\Rightarrow2n-1\in\left\{1;-1;3;-3\right\}\)

+) \(2n-1=1\Rightarrow2n=2\Rightarrow n=1\) ( chọn )

+) \(2x-1=-1\Rightarrow2n=0\Rightarrow n=0\) ( chọn )

+) \(2n-1=3\Rightarrow2n=4\Rightarrow n=2\) ( chọn )

+) \(2n-1=-3\Rightarrow n=-1\) ( loại )

Vậy \(n\in\left\{1;0;2\right\}\)

vãi cả Ngọc .

Đặt \(n^2-14n-256=a^2\)

\(\Leftrightarrow\left(n^2-14n+49\right)-a^2=305\)

\(\Leftrightarrow\left(n-7\right)^2-a^2=305\)

\(\Leftrightarrow\left(n-7+a\right)\left(n-7-a\right)=305=5\cdot61\)

Đến đây làm nốt đi.

Đặt \(G=n^2-14n-256=a^2\)(là số chính phương)

\(\Leftrightarrow n^2-14n+49-305=a^2\)

\(\Leftrightarrow\left(n-7\right)^2-305=a^2\)

\(\Leftrightarrow\left(n-7\right)^2-a^2=305\)

\(\Leftrightarrow\left(n+a-7\right)\left(n-a-7\right)=305=5.61\)

Mà \(n+a-7\ge n-a-7\)nên \(\hept{\begin{cases}n+a-7=61\\n-a-7=5\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}n+a=68\\n-a=12\end{cases}}\Leftrightarrow n=\frac{68+12}{2}=40\)

Vậy n = 40 thì \(G=n^2-14n-256\)là số chính phương

Thiếu trường hợp:

305 = 5. 61 = 305 . 1

n là số tự nhiên nhưng a có thể là số âm em nhé! Vì thế  không thể kết luận \(n+a-7\ge n-a-7.\)