Phương trình  m + 2 x 2 + 2 m + 1 x + 2 = 0 (*) có hai nghiệm trái dấu khi

a c = 2 ( m + 2 ) < 0 ⇔ m + 2 < 0  hay m < -2 , vậy phương án A đúng và khi m = -5 và khi m = -3 thì phương trình (*) cũng có hai nghiệm trái dấu. 

* Khi m = -5 thì phương trình đã cho trở thành: -3x² – 9x + 2= 0 có ac = (-3).2 = -6< 0 nên phương trình có 2 nghiệm và tổng hai nghiệm:  x 1 + x 2 = - b a = 9 - 3 = - 3   , phương án C đúng.

* Khi m = -3 thì phương trình đã cho trở thành: -x² – 5x + 2 = 0 có ac = (-1).2 = -2< 0 nên phương trình có 2 nghiệm và tổng 2 nghiệm là:  x 1 + x 2 = - b a = 5 - 1 = - 5  , do vậy nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn, vậy phương án D đúng.

* Xét B: Phương trình (*) có  ∆ = 2 m + 1 2 - 4 . m + 2 . 2 = 4 m 2 + 4 m + 1 - 8 m - 16 = 4 m 2 - 4 m - 15

  Khi m = 0 thì ∆ = - 15 nên phương trình (*) vô nghiệm, vậy phương án B sai.

Chọn đáp án là B.

*Xét phương trình  (m² +1).x² – (m- 6)x -  2= 0 có a= m² + 1 >0  và c = -2 < 0 nên ac< 0 mọi m.

=>  Phương trình (1) luôn có nghiệm mọi m.

* Phương trình x 2 + m + 3 x - 1 = 0  có ac= 1. (-1) < 0 nên phương  trình này luôn có nghiệm mọi m.

* Xét (3) mx² - 2x – m = 0  . Khi m= 0 thì (3) trở thành:  - 2x = 0 đây là phương trình bậc nhất có nghiệm duy nhất là x = 0.

* Xét (4) có :

∆ = - 2 m 2 - 4 . 2 - 1 - m = 4 m 2 + 8 + 8 m = 4 m 2 + 8 m + 4 + 4 = 4 m + 1 2 + 4 > 0   ∀ m

 Nên trình (4) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.

Chọn C.

* Ta có:

2 x - 3 . m x 2 - m + 2 x + 1 - m = 0 ⇔ [ 2 x - 3 = 0 ⇒ x = 3 2 m x 2 - m + 2 x + 1 - m = 0

Do đó, phương  trình đã  cho luôn có nghiệm x = 3 2  với mọi m.

Khẳng định A đúng.

*  Khi m = 0 thì phương trình đã cho trở thành:  (2x -3). ( -2x + 1)= 0

⇔ [ 2 x - 3 = 0 - 2 x + 1 = 0 ⇔ [ x = 3 2 x = 1 2

Khẳng định B đúng.

* Khi m = -8 thì (*) trở thành: (2x – 3). (- 8x²  + 6x + 9) =0

⇔ [ 2 x - 3 = 0 - 8 x 2 + 6 x + 9 = 0 ⇔ [ x = 3 2 x = - 3 4

Khẳng định D đúng.

Chọn  C.

Ta xét từng phương án :

* Phương án D: khi m= 1 thì phương trình đã cho trở thành:  -3x – 1= 0

Phương trình này có nghiệm duy nhất là  x = - 1 3

=> D đúng.

Ta có:   ∆ = - 3 2 - 4 . m - 1 . - 1 = 9 + 4 m - 4 = 4 m + 5

* Khi m >  1 hay m-1 > 0 thì ∆ >0  và  x 1 . x 2 = - 1 m - 1 < 0

Suy ra, phương trình có 2 nghiệm trái dấu nên mệnh đề A đúng.

*  Khi m > 3 thì ∆ > 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt và

x 1 + x 2 = 3 m - 1 > 0 x 1 . x 2 = - 1 m - 1 < 0  phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu x₁< 0<x₂ và |x₁| < |x₂|

=> Khẳng định B đúng.

* Khẳng định C:  khi m < 1 thì phương trình có 2 nghiệm âm là sai.

Ví dụ cho m = -2 thì ∆ = -3 ,phương trình khi đó vô nghiệm.

Chọn C.

Ta có  m 2 + 1 x - m - 1 x 2 - 2 m x - 1 + 2 m = 0

⇔ [ m 2 + 1 x - m - 1 = 0   ( a ) x 2 - 2 m x - 1 + 2 m = 0   ( b )

Phương trình (a) có m² + 1 >0 với mọi m nên phương trình này luôn có 1 nghiệm

Phương trình (b) có  ∆ ' = m 2 - 1 . - 1 + 2 m = m 2 - 2 m + 1 = m - 1 2 ≥ 0   ∀ m

Nếu m=1 thì phương trình (b) có nghiệm kép . Suy ra, phương trình (*) không thể có 3 nghiệm phân biệt.

Vậy A sai .

Phương trình  m x 2 + 2 x + 1 = 0  (*) có ∆ ' = 1 - m . Khi m >1 thì ∆ <0, phương trình vô nghiệm  nên phương án A đúng và phương án C sai, vậy loại A và chọn C.

Xét thêm các trường hợp còn lại:

 * Khi m <1 và  m ≠ 0  thì phương trình (*) là phương trình bậc hai có ∆> 0 phương trình có 2 nghiệm phân biệt nên phương án B đúng, loại B.

* Khi m = 1 thì phương trình đã cho trở thành: x² + 2x + 1 = 0 có nghiệm duy nhất là x = -1.

  Khi m= 0 thì phương trình đã cho trở thành 2x + 1= 0 có nghiệm duy nhất  x = 1 2

 nên phương án D đúng, loại D.

Chọn C.

* Với m= 3 thì phương trình đã cho trở thành:  x² – 6x + 1= 0.

Phương trình này có 2 nghiệm x 1 = 3 + 2 2 ;   x 2 = 3 - 2 2  nên x 1 - x 2 = 4 2

 * Với m= 2 thì phương trình đã cho trở thành:  x² – 4x = 0.

Phương trình này có 2 nghiệm là x₁ =0 và x₂ = 4 nên |x₁ – x₂| = 4

* Với m= 1 thì phương trình đã cho trở thành:  x² – 2x - 1= 0.

Phương trình này có 2 nghiệm x 1 = 1 + 2 ;   x 2 = 1 - 2 nên  x 1 - x 2 = 2 2

* Phương trình đã cho có:

∆ ' = m 2 - m - 2 = m 2 - m + 2 = m 2 - 2 . 1 2 . m + 1 4 + 7 4 = m - 1 4 2 + 7 4 > 0   ∀ m

Do đó, không có giá trị nào của m để ∆’ = 0 hay không có giá trị nào của m để phương trình đã cho có nghiệm kép.

Chọn D.

Ta có: 2 x - 1 . x - m x - 1 = 0 ⇔ [ 2 x - 1 = 0         ( a ) x - m x - 1 = 0   ( b )  và tập nghiệm của (*) là hợp hai tập nghiệm của (a) và của (b).

Phương trình (a) luôn có nghiệm duy nhất là 1 2 , vậy phương án B đúng và phương án A sai.

Xét thêm các khẳng định còn lại.

  * Khi m = -1 thì (b ) trở thành:  x + x  - 1= 0   ⇔ 2 x - 1 = 0 ⇔ x = 1 2

Vậy khi m = -1 thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1 2 .

*Khi m = 1 thì phương trình (b) trở thành:  x – x – 1= 0 hay 0x- 1 = 0 vô lí nên phương trình (b) vô nghiệm.

Vậy với m=1 thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 1 2 - là nghiệm của phương trình (a).

 Vậy phương án C và D đều đúng, tức là loại C và D.

Chọn A.

* Phương trình   2 x 2 - m + 1 x + m + 3 = 0 có ac = 2(m + 3) < 0 khi m < -3, vậy phương án B đúng.

* Xét một giá trị m lớn hơn -1 và lớn hơn -3, chẳng hạn m =0 thì phương trình (*) trở thành :
2x² – x +  3= 0 và ∆ = - 1 2 - 4 . 2 . 3 = - 23 < 0  , tức là phương trình (*) vô nghiệm, vậy các phương án A, C, D đều sai.