1.

a, Phương trình có nghiệm khi: 

\(\left(m+2\right)^2+m^2\ge4\)

\(\Leftrightarrow m^2+4m+4+m^2\ge4\)

\(\Leftrightarrow2m^2+4m\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m\ge0\\m\le-2\end{matrix}\right.\)

b, Phương trình có nghiệm khi:

\(m^2+\left(m-1\right)^2\ge\left(2m+1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2m^2+6m\le0\)

\(\Leftrightarrow-3\le m\le0\)

2.

a, Phương trình vô nghiệm khi:

\(\left(2m-1\right)^2+\left(m-1\right)^2< \left(m-3\right)^2\)

\(\Leftrightarrow4m^2-4m+1+m^2-2m+1< m^2-6m+9\)

\(\Leftrightarrow4m^2-7< 0\)

\(\Leftrightarrow-\dfrac{\sqrt{7}}{2}< m< \dfrac{\sqrt{7}}{2}\)

b, \(2sinx+cosx=m\left(sinx-2cosx+3\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(m-2\right)sinx-\left(2m+1\right)cosx=-3m\)

 Phương trình vô nghiệm khi:

\(\left(m-2\right)^2+\left(2m+1\right)^2< 9m^2\)

\(\Leftrightarrow m^2-4m+4+4m^2+4m+1< 9m^2\)

\(\Leftrightarrow m^2-1>0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m>1\\m< -1\end{matrix}\right.\)

1.

c, \(\left(m+2\right)sin2x+mcos^2x=m-2+msin^2x\)

\(\Leftrightarrow\left(m+2\right)sin2x+m\left(cos^2x-sin^2x\right)=m-2\)

\(\Leftrightarrow\left(m+2\right)sin2x+mcos2x=m-2\)

Phương trình vô nghiệm khi:

\(\left(m+2\right)^2+m^2< \left(m-2\right)^2\)

\(\Leftrightarrow m^2+4m+4+m^2< m^2-4m+4\)

\(\Leftrightarrow m^2+8m< 0\)

\(\Leftrightarrow-8\le m\le0\)

a.

\(\Leftrightarrow m-cosx\ge0\) ; \(\forall x\)

\(\Leftrightarrow m\ge max\left(cosx\right)\)

\(\Leftrightarrow m\ge1\)

b.

\(\Leftrightarrow2sinx-m\ge0\) ; \(\forall x\)

\(\Leftrightarrow m\le2sinx\) ; \(\forall x\)

\(\Leftrightarrow m\le\min\limits_{x\in R}\left(2sinx\right)\)

\(\Leftrightarrow m\le-2\)

c.

\(\Leftrightarrow cosx+m\ne0\) ; \(\forall x\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m>\max\limits_R\left(cosx\right)\\m< \min\limits_R\left(cosx\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m>1\\m< -1\end{matrix}\right.\)

b: \(\text{Δ}=\left(2m-2\right)^2-4\left(2m-5\right)\)

\(=4m^2-8m+4-8m+20\)

\(=4m^2-16m+24\)

\(=4\left(m^2-4m+6\right)>0\)

Do đó: Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Áp dụng hệ thức Vi-et, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1x_2=2m-5\end{matrix}\right.\)

Theo đề, ta có: \(\left(\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}\right)^2=4\)

\(\Leftrightarrow x_1+x_2-2\sqrt{x_1x_2}=4\)

\(\Leftrightarrow2m-2-2\sqrt{2m-5}=4\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{2m-5}=2m-6\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2m-5}=m-3\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>=3\\m^2-6m+9-2m+5=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>=3\\m^2-8m+14=0\end{matrix}\right.\)

Đến đây thì dễ rồi, bạn chỉ cần giải pt bậc hai rồi đối chiếu với đk là xong