đặt \(3sinx-4cosx=t\) đk \(-5\le t\le5\) pt trên trở thành \(t^2-2t\ge2m-1\)

\(\left(t-1\right)^2\ge2m\Leftrightarrow m\le0\)

Đáp án D

Đặt t = 3sin x - 4cos x => -5 ≤ t ≤ 5 (dùng bất đẳng thức bunhiacopxki)

Ta có: y = (3sin x – 4cos x)² – 6sin x + 8cos x

              =      t² – 2t = (t – 2)² -1

Do -5 ≤ t ≤ 5 => 0 ≤ (t – 2)² ≤ 36 => min y = -1

Suy ra yêu cầu bài toán -1 ≥ 2m - 1 ⇔ m ≤ 0.

Xét hàm số  y= ( 3sinx – 4cosx )² – 6sinx + 8cosx

Đáp án B

Chọn A

Lời giải:

Đặt \(3\sin x+4\cos x=t\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\(t^2=(3\sin x+4\cos x)^2\leq (3^2+4^2)(\sin ^2x+\cos ^2x)=25\)

\(\Rightarrow -5\leq t\leq 5\)

Với $t\in [-5;5]$ ta có:

\(y=3t^2+4t+1\leq 3.25+4.5+1=96\)

Mặt khác: \(y=3t^2+4t+1=3(t+\frac{2}{3})^2-\frac{1}{3}\)

\((t+\frac{2}{3})^2\geq 0, \forall t\in [-5;5]\Rightarrow y\geq -\frac{1}{3}\)

Vậy \(y_{\min}=\frac{-1}{3}; y_{\max}=96\)

Đặt \(t=3sinx-4cosx=5\left(\frac{3}{5}sinx-\frac{4}{5}cosx\right)=5sin\left(x-a\right)\)

\(\Rightarrow-5\le t\le5\)

\(\Rightarrow y=t^2-t+m\)

\(y>0\) ; \(\forall m\Leftrightarrow t^2-t+m>0\Leftrightarrow m>-t^2+t\) ; \(\forall m\)

\(\Leftrightarrow m>\max\limits_{\left[-5;5\right]}\left(-t^2+t\right)\)

Mà \(-t^2+t=-\left(t-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\le\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow m>\frac{1}{4}\)