a: Xét ΔABC có

N là trung điểm của AB

M là trung điểm của AC

Do đó: NM là đường trung bình của ΔABC

Suy ra: NM//BC

Xét tứ giác BNMC có NM//BC

nên BNMC là hình thang

mà \(\widehat{NBC}=\widehat{MCB}\)

nên BNMC là hình thang cân

Xét tứ giác BCDE có 

G là trung điểm của BD

G là trung điểm của CE

Do đó: BCDE là hình bình hành

mà \(\widehat{EBC}=90^0\)

nên BCDE là hình chữ nhật

* Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G

Suy ra: G là trọng tâm của ∆ ABC .

⇒ GB = 2GM (tính chất đường trung tuyến)

GC = 2GN (tính chất đường trung tuyến)

Điểm D đối xứng với điểm G qua điểm M

⇒ MG = MD hay GD = 2GM

Suy ra: GB = GD (l)

Điểm E đối xứng với điểm G qua điểm N

⇒ NG = NE hay GE = 2GN

Suy ra: GC = GE (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác BCDE là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Xét  ∆ BCM và  ∆ CBN, có: BC cạnh chung

∠ (BCM) =  ∠ (CBN) (tính chất tam giác cân)

CM = BN (vì AB = AC)

Suy ra:  ∆ BCM = ∆ CBN (c.g.c)

⇒  ∠ (MBC) =  ∠ (NCB) ⇒  ∆ GBC cân tại G ⇒ GB = GC ⇒ BD = CE

Hình bình hành BCDE có hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình chữ nhật.

a) Vì BM là đường trung tuyến AC (gt)=>AM=CM

Vì CN là đường trung tuyến AB(gt)=>AN=BN

=>MN là đường trung bình tam giác ABC

=>MN//BC, MN=1/2 BC (điều1)

Ta lại có:

G là trung điểm MP(vì P là điểm đối xứng vs M qua G

=>PG=GM

VÌ GM=1/2 BG

PG=GM

=>BP=PG

Làm tương tự:GQ=CQ

Ta có:BP=PG(cmt)

GQ=CQ (cmt)

=>PQ là đường trung bình tam giác BGC

=>PQ//BC, PQ=1/2 BC (điều 2)

Từ 1 và 2 điều trên =>MN=PQ(cug=1/2 BC)

MN//PQ(cug //BC)

=>MNPQ lầ hình bình hành (t/c hbh )

b)Nếu tam giác ABC cân tại A thì AG vuông góc BC

=>PN vuông góc vs BC.Mặt khác PQ//BC

=>PN vuông góc vs PQ mà MNPQ là hình bình hành(cmt)

lại có 1 góc =90độ=>MNPQ là hình chữ nhật

Tự vẽ hình:

cminh:Vì D đối xứng với G qua M

        =>GM=MD Hay GD=2GM

Vì BM;CN cắt nhau tại G trong tam giác ABC

=>G là trọng tâm trong Tam giác ABC =>BG=2GM

Suy ra : GD=BG(vì =2GM)=> G là trung điểm của BD (1)

Ta lại có : E đối xứng với G qua N=> EN=GN Hay EG=2NG

Và CG=2GN( G là trọng tâm)

Suy ra: CG=EG ( vì =2NG) (2) (*)

Từ (1) (2)=> Tứ giác BEDC là hình bình hành

Xét \(\Delta\)CBM Và \(\Delta\)BCN Có:

       BC: Cạnh chung

Góc B=C(g/t)

       BN=CM(AB=AC)

=> hai tam giác bằng nhau(c-g-c)

=>MBC=NCB(2 góc tương ứng) hay tam giác GBC cân=> BG=GC (**)

Từ (*) (**)=> Hình bình hành BEDC là hình chữ nhật