Ta có a⁴ + b⁴ - a³ b - ab³ = (a - b)(a³ - b³)

= (a -b)² (a² + ab + b²)

= (a - b)² [\(\frac{3b^2}{4}+\left(a+\frac{b}{2}\right)^2\)]\(\ge0\)

Ta lại có a⁴ + b⁴ \(\ge2a^2b^2\)

Từ đó => 2(a⁴ + b⁴) \(\ge\)ab³ + a³ b + 2 a² b²

\(2\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a^2+b^2\right)\cdot\left(a^{ }^2+b^2\right)\ge2ab\cdot\frac{\left(a+b\right)^2}{2}=ab\cdot\left(a+b\right)^2=ab^3+2a^2b^2+a^3b\)

Giả sử \(2\left(a^4+b^4\right)\ge a^3b+ab^3+2a^2b^2\)

\(\Leftrightarrow2a^4+2b^4-a^3b-ab^3-2a^2b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^4-a^3b\right)-\left(ab^3-b^4\right)+\left(a^4-2a^2b^2+b^4\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)+\left(a^2-b^2\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^3-b^3\right)+\left(a^2-b^2\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2-ab+b^2\right)+\left(a^2-b^2\right)^2\ge0\) \(\forall a;b\)                   \(\left(1\right)\)

Lại có: \(a^2-ab+b^2=\left(a^2-2.a.\frac{b}{2}+\frac{b^2}{4}\right)+\frac{3b^2}{4}\)

                                         \(=\left(a-\frac{b}{2}\right)^2+\frac{3b^2}{4}\ge0\) \(\forall a;b\)                          \(\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra  \(\left(a-b\right)^2\left(a^2-ab+b^2\right)+\left(a^2-b^2\right)^2\ge0\forall a;b\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^4+b^4\right)\ge a^3b+ab^3+2a^2b^2\forall a;b\)

Vậy \(2\left(a^4+b^4\right)\ge a^3b+ab^3+2a^2b^2\) với mọi a;b

\(\Leftrightarrow a^4-2a^2b^2+b^4+a^2-2ac+c^2+a^2-2a+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(a-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=\pm1\\c=1\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

Từ đó ta có

\(\left(a+b\right)^2+\frac{a+b}{2}\ge4ab+\frac{a+b}{2}\)

Ta cần chứng minh 

\(4ab+\frac{a+b}{2}\ge2a\sqrt{b}+2b\sqrt{a}\)

\(\Leftrightarrow8ab+a+b-4a\sqrt{b}-4b\sqrt{a}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(4ab-4a\sqrt{b}+a\right)+\left(4ab-4b\sqrt{a}+b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(2\sqrt{ab}-\sqrt{a}\right)^2+\left(2\sqrt{ab}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)(đúng)

\(\Rightarrow\)ĐPCM là đúng

a/ BĐT sai, với \(c=0\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{a}{b}\) (vô lý)

b/ \(\Leftrightarrow\frac{a^2}{4}+b^2+c^2-ab+ac-2bc\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{2}-b+c\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

c/ Bạn coi lại đề, trong ngoặc bên phải là \(a^2b\) hay \(ab^2\)?

d/ \(a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)

\(\Leftrightarrow2a+2b+2c-2\sqrt{ab}-2\sqrt{bc}-2\sqrt{ca}\ge0\)

\(\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b+b-2\sqrt{bc}+c+c-2\sqrt{ca}+a\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2+\left(\sqrt{c}-\sqrt{a}\right)^2\ge0\)

e/ Thiếu điều kiện, BĐT này chỉ đúng khi \(a+b\ge0\) (hoặc a;b không âm)