a) Ta có: \(N=a^2+b^2+2a-b-\dfrac{1}{4}\)

\(=a^2+2a+1+b^2-b+\dfrac{1}{4}-\dfrac{3}{2}\)

\(=\left(a+1\right)^2+\left(b-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{3}{2}\ge-\dfrac{3}{2}\forall a,b\)

Dấu '=' xảy ra khi a=-1 và \(b=\dfrac{1}{2}\)

a) Ta có: \(N=a^2+b^2+2a-b-\dfrac{1}{4}\)

\(=a^2+2a+1+b^2-b+\dfrac{1}{4}-\dfrac{3}{2}\)

\(=\left(a+1\right)^2+\left(b-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{3}{2}\ge-\dfrac{3}{2}\forall a,b\)

Dấu '=' xảy ra khi a=-1 và \(b=\dfrac{1}{2}\)

a⁴ + b⁴ + 2 \(\ge\) 4ab

\(\Leftrightarrow\) a⁴ + b⁴ + 2 - 4ab \(\ge\) 0

\(\Leftrightarrow\) a⁴ - 2a² + 1 + b⁴ - 2b² + 1 + 2a² + 2b² - 4ab \(\ge\) 0

\(\Leftrightarrow\) (a² - 1)² + (b² - 1)² + 2(a² - 2ab + b²) \(\ge\) 0

\(\Leftrightarrow\) (a² - 1)² + (b² - 1)² + 2(a - b)² \(\ge\) 0 (Với mọi giá trị a, b)

Vậy a⁴ + b⁴ + 2 \(\ge\) 4ab

Chúc bn học tốt!!

\(a^4+b^4+2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow a^4-2a^2b^2+b^4+2a^2b^2-4ab+2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2+2\left(ab-1\right)^2\ge0^{\left(1\right)}\)

\(^{\left(1\right)}\) đúng vậy ta có đpcm

C1: a^4 + b^4 + 2 ≥ 4ab
<=> a^4 - 2a^2 + 1 + b^2 - 2b^2 + 1 + 2a^2 + 2b^2 + 4ab
<=> (a^2 - 1)^2 + (b^2 -1)^2 + 2( a^2 -2ab+ b^2)
<=> (a^2 -1)^2 + (b^2 -1)^2 + 2(a-b) >= 0 (với mọi a, b)
Vậy nên a^4 + b^4 + 2 ≥ 4ab (với mọi số nguyên a, b)

C2:Xét (a + b)^2 - 4ab
= a^2 + 2ab +b^2 - 4ab = a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2 >= 0
=> (a+b)^2 >= 4ab
Mà ta có:
a^4 + b^4 + 2 - (a+b)^2
= a^4 + b^4 +2 -a^2 - b^2 - 2ab
=a^4 - 2a^2 + 1 + a^2 + b^4 - 2b^2 +1 + b^2 - 2ab
= (a^2 - 1)^2 + (b^2 - 1)^2 + (a-b)^2 >= 0
=> a^4 + b^4 +2 >= (a+b)^2
=> a^4 + b^4 +2 >= 4ab

bạn thấy cánh nào dễ hơn thì chọn nha

Nên bổ sung thêm đk a,b không âm

\(a+4b\ge\frac{16ab}{1+4ab}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+4b\right)\left(1+4ab\right)\ge16ab\)

AM-GM:\(a+4b\ge4\sqrt{ab};1+4ab\ge4\sqrt{ab}\)

\(\Rightarrow\left(a+4b\right)\left(1+4ab\right)\ge16ab\left(đpcm\right)\)

Với mọi số thực ta luôn có:

`(a-b)^2>=0`

`<=>a^2-2ab+b^2>=0`

`<=>a^2+b^2>=2ab`

`<=>2(a^2+b^2)>=(a+b)^2=1`

`<=>a^2+b^2>=1/2(đpcm)`

Dấu "=' `<=>a=b=1/2`

ta có:

(a²+b²)(1²+1²)≥(a.1+b.1)²

⇔ 2(a²+b²) ≥ (a+b)²

⇔ 2(a²+b²)≥ 1 (vì a+b=1)

⇔ a² +b² ≥ 1/2 (đpcm)

dấu "=) xảy ra khi a = b = 1/2

Giả sử \(c\le1\).

Khi đó: \(ab+bc+ca-abc=ab\left(1-c\right)+c\left(a+b\right)\ge0\)

\(\Rightarrow ab+bc+ca\ge abc\left(1\right)\)

Đẳng thức xảy ra chẳng hạn với \(a=2,b=c=0\).

Theo giả thiết:

\(4=a^2+b^2+c^2+abc\ge2ab+c^2+abc\)

\(\Leftrightarrow ab\left(c+2\right)\le4-c^2\)

\(\Leftrightarrow ab\le2-c\)

Trong ba số \(\left(a-1\right),\left(b-1\right),\left(c-1\right)\) luôn có hai số cùng dấu.

Không mất tính tổng quát, giả sử \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\).

\(\Rightarrow ab-a-b+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow ab\ge a+b-1\)

\(\Leftrightarrow abc\ge ca+bc-c\)

\(\Rightarrow abc+2\ge ca+bc+2-c\ge ab+bc+ca\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\Rightarrow\) Bất đẳng thức được chứng minh.

a) Sửa đề :

\(x^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4\)

\(x^4=\left(a^4+3a^3b+3a^2b^2+ab^3\right)+\left(a^3b+3a^2b^2+3ab^3+b^4\right)\)

\(x^4=a\left(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\right)+b\left(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\right)\)

\(x^4=\left(a+b\right)\left(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\right)\)

\(x^4=\left(a+b\right)\left[\left(a^3+2a^2b+ab^2\right)+\left(a^2b+2ab^2+b^3\right)\right]\)

\(x^4=\left(a+b\right)\left[a\left(a^2+2ab+b^2\right)+b\left(a^2+2ab+b^2\right)\right]\)

\(x^4=\left(a+b\right)^2\left(a+2ab+b^2\right)\)

\(x^4=\left(a+b\right)^4\)

b) Sửa đề:

 \(x^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5\)

\(x^5=\left(a^5+4a^4b+6a^3b^2+4a^2b^3+ab^4\right)+\left(a^4b+4a^3b^2+6a^2b+4ab^4+b^5\right)\)

\(x^5=a\left(a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4\right)+b\left(a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4\right)\)

\(x^5=\left(a+b\right)\left(a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4\right)\)

\(x^5=\left(a+b\right)\left[\left(a^4+3a^3b+3a^2b^2+ab^3\right)+\left(a^3b+3a^2b^2++3ab^3+b^4\right)\right]\)

\(x^5=\left(a+b\right)\left[a\left(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\right)+b\left(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\right)\right]\)

\(x^5=\left(a+b\right)^2\left(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\right)\)

\(x^5=\left(a+b\right)^2\left[\left(a^3+2a^2b+ab^2\right)+\left(a^2b+2ab^2+b^3\right)\right]\)

\(x^5=\left(a+b\right)^2\left[a\left(a^2+2ab+b^2\right)+b\left(a^2+2ab+b^2\right)\right]\)

\(x^5=\left(a+b\right)^3\left(a^2+2ab+b^2\right)\)

\(x^5=\left(a+b\right)^5\)

Bạn có thể tự tóm tắt lại