Hên xui thôi ( cái này không có chắc lắm )

\(\frac{x^3-xy^3+y^3z-yz^3+z^3x-x^3z}{x^2y-xy^2+y^2z-yz^2+z^2x-zx^2}\)

\(=xy-xy+xy-yz+zx-x^3\)\(z\)\(-\)\(zx^2\)

\(=xy-yz-zx-x^3\)\(z\)

phần trên sai rồi cho xin lỗi  ( trình bày lại )

bạn ghi lại đề nha

= xy - xy + yz - yz + zx - x^3z - zx^2

= -zx - x^3z

a) Để A có nghĩa, mẫu số của biểu thức phải khác 0. Vì vậy, ta cần giải phương trình: x^2y - xy^2 + y^2z - yz^2 + z^2x - zx^2 ≠ 0 b) Để tính giá trị của A khi x = -1/2, y = 5/2 và z = 8, ta thay các giá trị này vào biểu thức và tính toán: A = (-1/2)^3(5/2) - (-1/2)(5/2)^3 + (5/2)^3(8) - (5/2)(8)^3 + (8)^3(-1/2) - (8)(-1/2)^2 / (-1/2)^2(5/2) - (-1/2)(5/2)^2 + (5/2)^2(8) - (5/2)(8)^2 + (8)^2(-1/2) - (8)(-1/2)^2 Sau khi tính toán, ta sẽ có giá trị của A. Lưu ý: Để tính toán đúng, hãy chắc chắn rằng bạn đã sử dụng các giá trị x, y, z đúng và thực hiện các phép tính đúng theo thứ tự ưu tiên.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta được:

\(\left(9x^3+3y^2+z\right)\left(\frac{1}{9x}+\frac{1}{3}+z\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)

\(\Rightarrow\frac{x}{9x^3+3y^2+z}\le\frac{x\left(\frac{1}{9x}+\frac{1}{3}+z\right)}{\left(x+y+z\right)^2}=\frac{\frac{1}{9}+\frac{x}{3}+zx}{\left(x+y+z\right)^2}\)(1)

Hoàn toàn tương tự, ta có: \(\frac{y}{9y^3+3z^2+x}\le\frac{\frac{1}{9}+\frac{y}{3}+xy}{\left(x+y+z\right)^2}\)(2); \(\frac{z}{9z^3+3x^2+y}\le\frac{\frac{1}{9}+\frac{z}{3}+yz}{\left(x+y+z\right)^2}\)(3)

Cộng theo vế của 3 bất đẳng thức (1), (2), (3), ta được:

\(\frac{x}{9x^3+3y^2+z}+\frac{y}{9y^3+3z^2+x}+\frac{z}{9z^3+3x^2+y}\)\(\le\frac{\frac{1}{9}.3+\frac{x+y+z}{3}+xy+yz+zx}{\left(x+y+z\right)^2}\)

\(\le\frac{\frac{1}{9}.3+\frac{x+y+z}{3}+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}{\left(x+y+z\right)^2}=1\)(*)

Mặt khác, có: \(2017\left(xy+yz+zx\right)\le2017.\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\frac{2017}{3}\)(**)

Từ (*) và (**) suy ra \(A=\frac{x}{9x^3+3y^2+z}+\frac{y}{9y^3+3z^2+x}+\frac{z}{9z^3+3x^2+y}+2017\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\le1+\frac{2017}{3}=\frac{2020}{3}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

\(x+\sqrt{3x+yz}=x+\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}=x+\sqrt{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}\ge x+\sqrt{\left(\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\right)^2}\)

\(=x+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}=\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}\le\dfrac{x}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)

Tương tự:

\(\dfrac{y}{y+\sqrt{3y+zx}}\le\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\) ; \(\dfrac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le\dfrac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)

Cộng vế với vế ta có đpcm

Ta có:\(\left(9x^3+3y^2+z\right)\left(\dfrac{1}{9x}+\dfrac{1}{3}+z\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x}{9x^3+3y^2+z}\le\dfrac{x\left(\dfrac{1}{9x}+\dfrac{1}{3}+z\right)}{\left(x+y+z\right)^2}=\dfrac{\dfrac{1}{9}+\dfrac{x}{3}+xz}{\left(x+y+z\right)^2}\)

Tương tự rồi cộng theo vế:

\(Σ_{cyc}\dfrac{x}{9x^3+3y^2+z}\le\dfrac{\dfrac{1}{9}\cdot3+\dfrac{x+y+z}{3}+xy+yz+xz}{\left(x+y+z\right)^2}\)

\(\le\dfrac{\dfrac{1}{9}\cdot3+\dfrac{x+y+z}{3}+\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}{\left(x+y+z\right)^2}=1\)

Lại có: \(2017\left(xy+yz+xz\right)\le2017\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\dfrac{2017}{3}\)

\(\Rightarrow A\le\dfrac{2020}{3}\)

Dấu "=" khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)

Vậy ko ra yếu zzzz

c-s dưới mẫu xem