Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{2\sqrt[3]{abc}}=\frac{c^2}{c^2(a+b)}+\frac{a^2}{a^2(b+c)}+\frac{b^2}{b^2(c+a)}+\frac{(\sqrt[3]{abc})^2}{2abc}\)

\(\geq \frac{(c+a+b+\sqrt[3]{abc})^2}{c^2(a+b)+a^2(b+c)+b^2(c+a)+2abc}=\frac{(a+b+c+\sqrt[3]{abc})^2}{(a+b)(b+c)(c+a)}\)

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

1.

Áp dụng BĐT \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{ab}\right)^2+\left(\sqrt{bc}\right)^2+\left(\sqrt{ca}\right)^2\ge\sqrt{ab}.\sqrt{bc}+\sqrt{ab}.\sqrt{ac}+\sqrt{bc}.\sqrt{ac}\)

\(\Rightarrow ab+bc+ca\ge\sqrt{abc}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\)

2.

\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt[]{\frac{ab.bc}{ca}}=2b\) ; \(\frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}\ge2a\) ; \(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge2c\)

Cộng vế với vế:

\(2\left(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge a+b+c\)

3.

Từ câu b, thay \(c=1\) ta được:

\(ab+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\ge a+b+1\)

4.

\(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}=\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ac}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)}{ab+bc+ca}\)

\(\Rightarrow\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{ab+bc+ca}=ab+bc+ca\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

5.

\(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}\ge2\sqrt{\frac{ab}{bc.ca}}=\frac{2}{c}\) ; \(\frac{a}{bc}+\frac{c}{ab}\ge\frac{2}{b}\) ; \(\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\ge\frac{2}{a}\)

Cộng vế với vế:

\(2\left(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\right)\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

1. bđt được viết lại thành

\(ab+bc+ca\ge a\sqrt{bc}+b\sqrt{ac}+c\sqrt{ab}\)

Theo bđt AM-GM thì :

\(ab+bc\ge2\sqrt{ab\cdot bc}=2\sqrt{ab^2c}=2b\sqrt{ac}\)

Tương tự : \(bc+ca\ge2c\sqrt{ab}\); \(ab+ca\ge2a\sqrt{bc}\)

Cộng vế với vế

=> \(2\left(ab+bc+ca\right)\ge2\left(a\sqrt{bc}+b\sqrt{ac}+c\sqrt{ab}\right)\)

=> \(ab+bc+ca\ge a\sqrt{bc}+b\sqrt{ac}+c\sqrt{ab}\)( đpcm )

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c

bđt cần c/m tương đương với:

\(\left(\frac{b+c}{\sqrt{a}}+\sqrt{a}\right)+\left(\frac{a+c}{\sqrt{b}}+\sqrt{b}\right)+\left(\frac{a+b}{\sqrt{c}}+\sqrt{c}\right)\ge2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)+3\\ \ \)\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\right)\ge2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)+3\)

Mặt khác:

\(a+b+c\ge\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2}{3}\)

\(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\ge\frac{9}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)

=> \(VT\ge3\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\)

Ta cần c/m: 

\(3\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\ge2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)+3\)

<=> \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\ge3\sqrt[3]{\sqrt{abc}}=3\)(BĐt Cô-si)

xong rồi bạn nhé

dit me may

Bài 1: \(a+\frac{1}{b\left(a-b\right)}=\left(a-b\right)+b+\frac{1}{b\left(a-b\right)}\)

Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta thu được đpcm (mình làm ở đâu đó rồi mà:)

Dấu "=" xảy ra khi a =2; b =1 (tự giải ra)

Bài 2: Thêm đk a,b,c >0.

Theo BĐT Cauchy \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{c^2}}=\frac{2a}{c}\). Tương tự với hai cặp còn lại và cộng theo vế ròi 6chia cho 2 hai có đpcm.

Bài 3: Nó sao sao ấy ta?

a;b;c dương

\(A=\frac{b}{\sqrt{a}}+\frac{c}{\sqrt{b}}+\frac{a}{\sqrt{c}}+\frac{c}{\sqrt{a}}+\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{c}}\)

\(\Rightarrow A\ge\frac{\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{a}\right)^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\frac{\left(\sqrt{c}+\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}=2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\)

\(\Rightarrow A\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3\sqrt[3]{\sqrt{abc}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz ta có  :

\(VT=\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{3}{\sqrt{b}}+\frac{8}{\sqrt{3c+2a}}\)

\(=\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{2}{\sqrt{b}}+\frac{8}{\sqrt{3c+2a}}\)

\(\ge\frac{4}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{2\left(1+2\right)^2}{\sqrt{3c+2a}+\sqrt{b}}\)

\(=\frac{4}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{\left(1+2\right)^2}{\sqrt{3c+2a}+\sqrt{b}}+\frac{\left(1+2\right)^2}{\sqrt{3c+2a}+\sqrt{b}}\)

\(\ge\frac{\left(1+2+1+2+2\right)^2}{2\sqrt{3c+2a}+3\sqrt{b}+\sqrt{a}}\)

\(\ge\frac{64}{\sqrt{\left(1+2^2+3\right)\left(a+2a+3c+3b\right)}}\)

\(=\frac{64}{\sqrt{24\left(a+c+b\right)}}=\frac{16\sqrt{2}}{\sqrt{3\left(a+b+c\right)}}=VF\)

Chúc bạn học tốt !!!

Mình nghĩ là: 

a = 1

b = 2

c = 4

Đặt ⎧⎪⎨⎪⎩a+b−c=xb+c−a=yc+a−b=z(x,y,z>0){a+b−c=xb+c−a=yc+a−b=z(x,y,z>0)

⇒⎧⎪ ⎪ ⎪⎨⎪ ⎪ ⎪⎩a=z+x2b=x+y2c=y+z2⇒{a=z+x2b=x+y2c=y+z2

⇒√a(1b+c−a−1√bc)=√2(z+x)2(1y−2√(x+y)(y+z))≥√x+√z2(1y−2√xy+√yz)=√x+√z2y−1√y⇒a(1b+c−a−1bc)=2(z+x)2(1y−2(x+y)(y+z))≥x+z2(1y−2xy+yz)=x+z2y−1y
Tương tự

⇒∑√a(1b+c−a−1√bc)≥∑√x+√z2y−∑1√y⇒∑a(1b+c−a−1bc)≥∑x+z2y−∑1y

⇒VT≥∑[x√x(y+z)]2xyz−∑√xy√xyz≥2√xyz(x+y+z)2xyz−x+y+z√xyz≐x+y+z√xyz−x+y+z√xyz=0⇒VT≥∑[xx(y+z)]2xyz−∑xyxyz≥2xyz(x+y+z)2xyz−x+y+zxyz≐x+y+zxyz−x+y+zxyz=0

(∑√xy≤x+y+z,x√x(y+z)≥2x√xyz)(∑xy≤x+y+z,xx(y+z)≥2xxyz)

dấu = ⇔x=y=z⇔a=b=c

Mai Anh ! cậu giỏi quá, cậu nè :33 

Ha~ Idol về mảng copy nay giỏi quá lè:33. Tác hại của việc copy paste là đây

Lần sai copy paste nhớ nhìn lại với chỉnh sửa đi nhá. Ko để này lộ liễu bôi bác lắm

Copy always mà vẫn 50k giải tuần đấy, ghê=))

Làm tạm một câu rồi đi chơi, lát làm cho.

4)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz :

\(VT\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}=\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\ge\frac{9}{1}=9\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)

2/ Cô: \(\frac{2a}{b}+\frac{b}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{a.a.b}{b.b.c}}=3\sqrt[3]{\frac{a^3}{abc}}=\frac{3a}{\sqrt[3]{abc}}\)

Tương tự hai BĐT còn lại và cộng theo vế thu được:

\(3.VT\ge3.VP\Rightarrow VT\ge VP^{\left(Đpcm\right)}\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b= c

Đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(x^3;y^3;z^3\right)\Rightarrow x^3+y^3+z^3=2\)

Ta có: \(x^3+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}\ge3\sqrt[3]{x^3.\frac{4}{9}}=\sqrt[3]{12}x\)

Tương tự: \(y^3+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}\ge\sqrt[3]{12}y\); \(z^3+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}\ge\sqrt[3]{12}z\)

\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3+4\ge\sqrt[3]{12}\left(x+y+z\right)\)

\(\Rightarrow x+y+z\le\frac{6}{\sqrt[3]{12}}=\sqrt[3]{18}\)

Ta có: \(P=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\ge\frac{9}{\sqrt[3]{18}}=\frac{3\sqrt[3]{12}}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt[3]{\frac{2}{3}}\) hay \(a=b=c=\frac{2}{3}\)