Phương trình:

\(x^2-2\left(m+1\right)x+m+1=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-2\left(m+1\right)x+\left(m+1\right)^2-\left(m+1\right)^2+\left(m+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-\left(m+1\right)\right)^2-\left(m+1\right)\left(m+1-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-\left(m+1\right)\right)^2-m\left(m+1\right)=0\)

Phương trình có nghiệm kép khi: \(m\left(m+1\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m=0\\m=-1\end{cases}}\)

Với m = 0, nghiệm kép: \(x_1=x_2=1>0\)thỏa mãn đề bài.

Với m = -1, nghiệm kép: \(x_1=x_2=0\)không thỏa mãn đề bài - Loại.

Kết luận: Với m = 0 thì phương trình có nghiệm kép dương là : 1.

Xin kết luận lại:

Với m=0 thì phương trình có nghiêm kép dương. Nghiệm kép dương đó là: 1.

\(\Delta'=\left(m+1\right)^2-\left(m+1\right)=m\left(m+1\right).\)

để phương trình có nghiệm kép lớn hơn ko thì :\(\hept{\begin{cases}\Delta'=m\left(m+1\right)=0\\S=2\left(m+1\right)>0\\P=m+1>0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\orbr{\begin{cases}m=0\\m=-1\end{cases}}\\\\m>-1\end{cases}}}\Leftrightarrow m=0\)

đặt m+1=t

\(\Leftrightarrow x^2-4tx+t=0\Leftrightarrow x^2-4tx+4t^2+t-4t^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2t\right)^2=4t^2-t\)

để 2 có nghiệm   \(\Rightarrow4t^2-t>0\) \(\Leftrightarrow t\left(4t-1\right)>0\Rightarrow\orbr{\begin{cases}t< 0\\t>\frac{1}{4}\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}m< -1\\m>-\frac{3}{4}\end{cases}}\)

∆' = m² - 2m + 1 + 4m

= m² + 2m + 1

= (m + 1)² ≥ 0 với mọi m

a) Để phương trình có hai nghiệm dương thì:

S = x₁ + x₂ = 2(m - 1) > 0

P = x₁.x₂ = -4m > 0

*) 2(m - 1) > 0

m - 1 > 0

m > 1 (1)

*) -4m > 0

m < 0 (2)

Kết hợp (1) và (2) ta suy ra không tìm được m để phương trình có hai nghiệm dương.

b) Để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt thì

∆ > 0; S < 0; P > 0

*) ∆ > 0 

⇔ (m + 1)² > 0

⇔ m + 1 ≠ 0

⇔ m ≠ -1  (3)

*) S = 2(m - 1) < 0

⇔ m - 1 < 0

⇔ m < 1   (4)

*) P > 0

⇔ -4m < 0

⇔ m < 0   (5)

Từ (3), (4) và (5) ⇒ m < 1

Vậy với m < 1 thì phương trình đã cho có hai nghiệm âm phân biệt

\(x^2-2\left(m-1\right)x-4m=0\)

\(b,\) Để pt có 2 nghiệm âm phân biệt thì \(\left\{{}\begin{matrix}a\ne0\\-\dfrac{b}{a}< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2\left(m-1\right)}{1}< 0\)

\(\Leftrightarrow2m-2< 0\)

\(\Leftrightarrow2m< 2\)

\(\Leftrightarrow m< 1\)

Vậy m < 1 thì pt có 2 nghiệm âm phân biệt

(m-1)x²-2mx+m-2=0(m\(\ne1\) )

\(\Delta\)^'=\(m^2-\left(m-2\right)\left(m-1\right)\)

   =\(m^2-m^2+m+2m-2\)

 =3m-2

Để pt có nghiệm 2 ngiệm trái dấu thì \(\Delta\) ^' =3m-2>0\(\Leftrightarrow m>\dfrac{2}{3}\)

Áp dụng hệ thức Viet, ta có 

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{2m}{m-1}\\x_1.x_2=\dfrac{m-2}{m-1}\end{matrix}\right.\)

Để PT có 2 nghiệm trái dấu thì x₁x₂<0\(\Leftrightarrow\dfrac{m-2}{m-1}< 0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}m-2< 0\\m-1>0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}m-2>0\\m-1< 0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}m< 2\\m>1\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}m>2\\m< 1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow1< m< 2\)

Vậy 1<m<2 thì pt có 2 nghiệm trái dấu 

câu b

.Với m=1\(\Rightarrow-2x-1=0\Leftrightarrow x=\dfrac{-1}{2}\left(l\right)\)

.Với \(m\ne1\)

\(\Rightarrow\Delta\)^'=3m-2\(\ge0\Leftrightarrow m\ge\dfrac{2}{3}\)

\(\text{Δ}=\left[-2\left(m+1\right)\right]^2-4\cdot1\cdot\left(m-4\right)\)

\(=4\left(m^2+2m+1\right)-4\left(m-4\right)\)

\(=4m^2+8m+4-4m+16\)

\(=4m^2+4m+20=\left(2m+1\right)^2+19>0\forall m\)

=>Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Theo Vi-et, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=2\left(m+1\right)\\x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}=m-4\end{matrix}\right.\)

Để Phương trình có hai nghiệm đều dương thì

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2>0\\x_1x_2>0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2\left(m+1\right)>0\\m-4>0\end{matrix}\right.\)

=>\(m>4\)

\(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=6\)

=>\(\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=6\)

=>\(\dfrac{2\left(m+1\right)}{m-4}=6\)

=>6(m-4)=2(m+1)

=>3(m-4)=m+1

=>3m-12=m+1

=>2m=13

=>\(m=\dfrac{13}{2}\left(nhận\right)\)

b: Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì (m+2)(m-4)<0

=>-2<m<4