Cho \(\dfrac{a}{a+1}+\dfrac{b}{b+1}+\dfrac{c}{c+1}\le1\)
Chứng minh : \(a.b.c\le\dfrac{1}{8}\)
TZ
Những câu hỏi liên quan
NT
13 tháng 3 2017 lúc 20:35
Cho ba số dương \(0\le a\le b\le c\le1\) chứng minh rằng \(\dfrac{a}{bc+1}+\dfrac{b}{ac+1}+\dfrac{c}{ab+1}\le2\)
Vào đây đi:
https://hoc24.vn/hoi-dap/question/32718.html
Đúng 0
Bình luận (11)
0≤a≤b≤c≤1
suy ra \(A=\dfrac{a}{bc+1}+\dfrac{a}{ac+1}+\dfrac{c}{ab+1}\le\dfrac{a+b+c}{abc+1}\)
vì a;b;c <1 suy ra
\(\left\{{}\begin{matrix}\left(a-1\right)\left(bc-1\right)\ge0\\\left(b-1\right)\left(c-1\right)\ge0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2abc+1\ge abc+1\ge bc+a\\bc+1\ge b+c\end{matrix}\right.\)
2abc + 2 \(\ge a+bc+1\ge a+b+c\)
dấu bằng xảy ra khi (a;b;c) = (0;1;1)
Đúng 0
Bình luận (0)
Xem thêm câu trả lời
cho 3 số thực dương \(0\le a\le b\le c\le1\) .chứng minh rằng \(\dfrac{a}{bc+1}+\dfrac{b}{ac+1}+\dfrac{c}{ab+1}\le2\)
Ta có: \(0\le a\le b\le c\le1\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1-a\ge0\\1-b\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(1-a\right)\left(1-b\right)\ge0\Leftrightarrow1\left(1-b\right)-a\left(1-b\right)\ge0\)
\(\Rightarrow1-b-a+ab\ge0\Leftrightarrow1+ab\ge a+b\)
Tiếp tục chứng minh ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}1\ge c\\0\le a\le b\Leftrightarrow ab\ge0\end{matrix}\right.\)
cộng theo vế: \(1+ab+1+ab\ge a+b+c+0\)
\(\Rightarrow2\left(1+ab\right)\ge a+b+c\)
Ta có: \(\dfrac{c}{ab+1}=\dfrac{2c}{2\left(ab+1\right)}\le\dfrac{2c}{a+b+c}\) (1)
chứng minh tương tự suy ra đpcm
Đúng 0
Bình luận (11)
Ta có: 0≤a≤b≤c≤1⇔{1−a≥01−b≥00≤a≤b≤c≤1⇔{1−a≥01−b≥0
⇒(1−a)(1−b)≥0⇔1(1−b)−a(1−b)≥0⇒(1−a)(1−b)≥0⇔1(1−b)−a(1−b)≥0
⇒1−b−a+ab≥0⇔1+ab≥a+b⇒1−b−a+ab≥0⇔1+ab≥a+b
Tiếp tục chứng minh ta có: {1≥c0≤a≤b⇔ab≥0{1≥c0≤a≤b⇔ab≥0
cộng theo vế: 1+ab+1+ab≥a+b+c+01+ab+1+ab≥a+b+c+0
⇒2(1+ab)≥a+b+c⇒2(1+ab)≥a+b+c
Ta có: cab+1=2c2(ab+1)≤2ca+b+ccab+1=2c2(ab+1)≤2ca+b+c (1)
Đúng 0
Bình luận (0)
Xem thêm câu trả lời
cho a.b.c=1. chứng minh rằng
A=\(\dfrac{1}{\sqrt{1+a^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+b^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+c^2}}\le\dfrac{3}{\sqrt{2}}\)
\(\left(a,b,c\right)\rightarrow\left(\dfrac{x}{y};\dfrac{y}{z};\dfrac{z}{x}\right)\)
\(\Rightarrow A=\sum\sqrt{\dfrac{1}{1+\left(\dfrac{x}{y}\right)^2}}=\sum\sqrt{\dfrac{y^2}{x^2+y^2}}=\sum\sqrt{\dfrac{y^2\left(x^2+z^2\right)}{\left(x^2+y^2\right)\left(x^2+z^2\right)}}\)
ÁP dụng Bunyakovsky:
\(\sum\sqrt{\dfrac{y^2\left(x^2+z^2\right)}{\left(x^2+y^2\right)\left(x^2+z^2\right)}}\le\sqrt{2\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)\left(\sum\dfrac{1}{\left(x^2+y^2\right)\left(x^2+z^2\right)}\right)}\)
\(=\sqrt{2\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right).\dfrac{2\left(x^2+y^2+z^2\right)}{\left(x^2+y^2\right)\left(y^2+z^2\right)\left(z^2+x^2\right)}}\)
Cần chứng minh \(VT\le\dfrac{3}{\sqrt{2}}\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\le\dfrac{9}{8}\left(x^2+y^2\right)\left(y^2+z^2\right)\left(z^2+x^2\right)\)
( đúng )
Vậy ta có đpcm.Dấu = xảy ra khi a=b=c=1
Đúng 0
Bình luận (0)
cho a,b,c >0 thỏa mãn a.b.c=1
chứng minh rằng
\(\dfrac{1}{2a^3+1}+\dfrac{1}{2b^3+1}+\dfrac{1}{2c^3+1}\le1\)
nó có khác câu dưới ?
\(\sum\dfrac{y^3}{2x^3+y^3}\ge\dfrac{\left(x^3+y^3+z^3\right)^2}{\left(x^3+y^3+z^3\right)}=1\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho \(0\le a\le b\le c\le1\). Tìm max
\(A=\left(a+b+c+3\right)\left(\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{c+1}\right)\)
Bạn tham khảo:
Bài ni hay lắm mn Cho 3 số a , b , c thỏa mãn \(0\le a\le b\le c\le1\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(B=\lef... - Hoc24
Đúng 6
Bình luận (1)
Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\). Chứng minh rằng:
\(\dfrac{1}{a^3+b+c}+\dfrac{1}{a+b^3+c}+\dfrac{1}{a+b+c^3}\le1\)
cho ba số dương \(0\le a\le b\le c\le1\) CMR \(\dfrac{a}{bc+1}+\dfrac{b}{ac+1}+\dfrac{c}{ab+1}\le2\)
Vì \(0\le a\le b\le c\le1\) nên:
\(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge ab+1\ge a+b\Leftrightarrow\dfrac{1}{ab+1}\le\dfrac{1}{a+b}\Leftrightarrow\dfrac{c}{ab+1}\le\dfrac{c}{a+b}\left(1\right)\)
Tương tự: \(\dfrac{a}{bc+1}\le\dfrac{a}{b=c}\left(2\right);\dfrac{b}{ac+1}\le\dfrac{b}{a+c}\left(3\right)\)
Do đó: \(\dfrac{a}{bc+1}+\dfrac{b}{ac+1}+\dfrac{c}{ab+1}\le\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}\left(4\right)\)
Mà: \(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}\le\dfrac{2a}{a+b+c}+\dfrac{2b}{a+b+c}+\dfrac{2c}{a+b+c}=\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\left(5\right)\)
Từ (4) và (5) suy ra \(\dfrac{a}{bc+1}+\dfrac{b}{ac+1}+\dfrac{c}{ab+1}\left(đpcm\right)\)
Đúng 7
Bình luận (3)
Cho các số thực dương \(a;b;c\) thỏa mãn \(a.b.c=1\). Chứng minh rằng :
\(\dfrac{1}{a^2+2.b^2+6}+\dfrac{1}{b^2+2c^2+6}+\dfrac{1}{c^2+2a^2+6}\le\dfrac{1}{3}\)
P/s: Em xin phép nhờ quý thầy cô giáo và các bạn yêu toán giúp đỡ 1 câu trong đề cương toán lớp 10 với ạ. Em cám ơn nhiều ạ!
Cho các số a, b, c. Biết 1\(\le a\le b\le c\le2\). Chứng minh:
\(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\le\dfrac{81}{8}\)
Sourse: Nâng cao & phát triển toán 9 ,phần BĐT. khá khó hiểu .
Đúng 0
Bình luận (0)