Em nên viết đề bài bằng công thức toán học, có biểu tượng Σ góc trái màn hình. Như vậy thầy cô mới có thể hiểu đúng và đủ đề bài để trợ giúp tốt nhất cho học viên của Olm em nhé!

2.

\(4n^3+n+3=4n^3+2n^2+2n-2n^2-n-1+4=2n\left(2n^2+n+1\right)-\left(2n^2+n+1\right)+4\)-Để \(\left(4n^3+n+3\right)⋮\left(2n^2+n+1\right)\) thì \(4⋮\left(2n^2+n+1\right)\)

\(\Leftrightarrow2n^2+n+1\in\left\{1;-1;2;-2;4;-4\right\}\) (do n là số nguyên)

*\(2n^2+n+1=1\Leftrightarrow n\left(2n+1\right)=0\Leftrightarrow n=0\) (loại) hay \(n=\dfrac{-1}{2}\) (loại)

*\(2n^2+n+1=-1\Leftrightarrow2n^2+n+2=0\) (phương trình vô nghiệm)

\(2n^2+n+1=2\Leftrightarrow2n^2+n-1=0\Leftrightarrow n^2+n+n^2-1=0\Leftrightarrow n\left(n+1\right)+\left(n+1\right)\left(n-1\right)=0\Leftrightarrow\left(n+1\right)\left(2n-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow n=-1\) (loại) hay \(n=\dfrac{1}{2}\) (loại)

\(2n^2+n+1=-2\Leftrightarrow2n^2+n+3=0\) (phương trình vô nghiệm)

\(2n^2+n+1=4\Leftrightarrow2n^2+n-3=0\Leftrightarrow2n^2-2n+3n-3=0\Leftrightarrow2n\left(n-1\right)+3\left(n-1\right)=0\Leftrightarrow\left(n-1\right)\left(2n+3\right)=0\)\(\Leftrightarrow n=1\left(nhận\right)\) hay \(n=\dfrac{-3}{2}\left(loại\right)\)

-Vậy \(n=1\)

1. \(x^2+y^2=z^2\)

\(\Rightarrow x^2+y^2-z^2=0\)

\(\Rightarrow\left(x-z\right)\left(x+z\right)+y^2=0\)

-TH1: y lẻ \(\Rightarrow x-z;x+z\) đều lẻ.

\(x+3z-y=x+z-y+2x\) chia hết cho 2. \(\Rightarrow\)Hợp số.

-TH2: y chẵn \(\Rightarrow\)1 trong hai biểu thức \(x-z;x+z\) chia hết cho 2.

*Xét \(\left(x-z\right)⋮2\):

\(x+3z-y=x-z+4z-y\) chia hết cho 2. \(\Rightarrow\)Hợp số.

*Xét \(\left(x+z\right)⋮2\):

\(x+3z-y=x+z+2z-y\) chia hết cho 2 \(\Rightarrow\)Hợp số.

\(VT=\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{x^2+y^2}{x^2y^2}=\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{\left(x-y\right)^2+2xy}{x^2y^2}\)

\(VT=\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{\left(x-y\right)^2}{x^2y^2}+\dfrac{2}{xy}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(x-y\right)^2}{\left(x-y\right)^2x^2y^2}}+\dfrac{2}{xy}=\dfrac{2}{\left|xy\right|}+\dfrac{2}{xy}\ge\dfrac{2}{xy}+\dfrac{2}{xy}=\dfrac{4}{xy}\)

\(xy\ne0,x,y\ne1\)

\(A=\dfrac{x^{ }}{y^3-1}-\dfrac{y}{x^3-1}+\dfrac{2\left(x+y\right)}{x^2y^2+3}\)

\(xét:\dfrac{2\left(x+y\right)}{x^2y^2+3}=\dfrac{2}{x^2y^2+3}\left(1\right)\)

\(\dfrac{x^{ }}{y^3-1}-\dfrac{y}{x^3-1}=\dfrac{x^4-x-y^4+y}{\left(x^3-1\right)\left(y^3-1\right)}\left(2\right)\)

\(xét:\) \(x^4-x-y^4+y=\left(x-y\right)\left(x^3+x^2y+xy^2+y^3-1\right)\)

\(=\left(x-y\right)\left[\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+xy\left(x+y\right)-1\right]\)

\(=\left(x-y\right)\left(1-3xy+xy-1\right)\)

\(=\left(x-y\right)\left(-2xy\right)=-2xy\left(x-y\right)=2xy\)

\(xét\) \(\left(y^3-1\right)\left(x^3-1\right)=x^3y^3-\left[\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)\right]+1\)

\(=x^3y^3-\left(1-3xy\right)+1=x^3y^3+3xy=xy\left(x^2y^2+3\right)\)

\(\Rightarrow\left(2\right)\Leftrightarrow\dfrac{-2\left(x-y\right)}{x^2y^2+3}\)

\(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow A=\dfrac{2}{x^2y^2+3}-\dfrac{2\left(x-y\right)}{x^2y^2+3}=\dfrac{2-2x+2y}{x^2y^2+3}\ne0\left(đề-sai\right)\)

a/ \(B=\left(\dfrac{x^2}{y}-\dfrac{y^2}{x}\right)\left(\dfrac{x+y}{x^2+xy+y^2}+\dfrac{1}{x-y}\right)\)

\(=\dfrac{x^3-y^3}{xy}\cdot\dfrac{\left(x+y\right)\left(x-y\right)+x^2+xy+y^2}{\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)}\)

\(=\dfrac{x^3-y^3}{xy}\cdot\dfrac{x^2-y^2+x^2+xy+y^2}{x^3-y^3}\)

\(=\dfrac{2x^2+xy}{xy}=\dfrac{x\left(2x+y\right)}{xy}=\dfrac{2x+y}{y}\)

b/ Khi x = -1/2 và y = 3 ta có:

\(B=\dfrac{2\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)+3}{3}=\dfrac{-1+3}{3}=\dfrac{2}{3}\)

a) Với ĐK: x khác 0, y khác 0, x khác y ta có:

\(B=\left(\dfrac{x^2}{y}-\dfrac{y^2}{x}\right).\left(\dfrac{x+y}{x^2+xy+y^2}+\dfrac{1}{x-y}\right)\)

\(=\left(\dfrac{x^3}{xy}-\dfrac{y^3}{xy}\right).\left[\dfrac{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}{\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)}+\dfrac{x^2+xy+y^2}{\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)}\right]\)

\(=\dfrac{x^3-y^3}{xy}.\dfrac{x^2-y^2+x^2+xy+y^2}{x^3-y^3}\)

\(=\dfrac{2x^2+xy}{xy}=\dfrac{x\left(2x+y\right)}{xy}=\dfrac{2x+y}{y}=\dfrac{2x}{y}+1\)

Vậy....

b) Thay số vào rồi tính nha

Lâu ngày ko làm toán có gì sai sót thông cảm

\(\Rightarrow\dfrac{z+y+1}{x}=\dfrac{x+z+1}{y}=\dfrac{x+y-2}{z}=\dfrac{2\left(x+y+z\right)}{x+y+z}=2=x+y+z\\ \Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}z+y+1=2x\\x+z+1=2y\\x+y-2=2z\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y+z=2x-1\\x+z=2y-1\\x+y=2z+2\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x-1=2-x\\2y-1=2-y\\2z+2=2-z\end{matrix}\right.\Rightarrow\left(x,y,z\right)=\left(1;1;0\right)\)