\(x=y=z=0\)là n⁰ của pt

xét x,y,z khác 0 

\(\frac{5\left(xy+yz+zx\right)}{xyz}=4\)

\(5\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=4\)

\(< =>\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}⋮4\)

ta có \(\left|x\right|\ge1< =>\frac{1}{\left|x\right|}\le1\)

tương tự với 2 cái còn lại 

\(\frac{1}{\left|x\right|}+\frac{1}{\left|y\right|}+\frac{1}{\left|z\right|}\le3\)

\(\frac{1}{\left|x\right|}+\frac{1}{\left|y\right|}+\frac{1}{\left|z\right|}\ge\left|\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right|\)

\(< =>\left|\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right|\le3\)

\(-3\le\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\le3\)

mà \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}⋮4\)từ -3 đến 3 chỉ có số 0 chia hết cho 4 mà x,y,z khác 0 (loại)

vậy bộ nghiệm duy nhất của pt là \(x=y=z=0\)

trường hợp 10,5,2 và hoán vị của bộ này vẫn thỏa mãn đề bài mà nhỉ

a) ĐKXĐ: \(x;y>0\)  

 Ta có:\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow\frac{4y}{4xy}+\frac{4x}{4xy}=\frac{xy}{4xy}\)

\(\Rightarrow4x+4y-xy=0\)

\(\Rightarrow x\left(4-y\right)=-4y\)

\(\Rightarrow x=\frac{-4y}{4-y}=\frac{-4\left(y-4\right)-16}{-\left(y-4\right)}\)

\(\Rightarrow x=4-\frac{16}{4-y}\)

Để x nguyên dương =>\(\hept{\begin{cases}\frac{16}{4-y}< 0\\\left(4-y\right)\inƯ\left(16\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow4-y\in\left\{\pm1;\pm2;\pm4;\pm8;\pm16\right\}\)

Tìm nốt y và thay vào tìm ra x

a/ \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{4}\)

Không mất tính tổng quát giả sử: \(x\ge y\)

\(\frac{1}{4}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\le\frac{2}{y}\)

\(\Leftrightarrow0< y\le8\)

\(\Rightarrow y=\left\{1;2;3;4;5;6;7;8\right\}\)làm nốt

b/ \(5\left(xy+yz+zx\right)=4xyz\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{4}{5}\)

Giả sử: \(x\le y\le z\)

\(\Rightarrow\frac{4}{5}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\le\frac{3}{x}\)

\(\Leftrightarrow0< x\le0\)

Nên vô nghiệm

\(x^2+y^2+z^2+4xyz=2\left(xy+yz+zx\right)\\ \Leftrightarrow\left(x-y-z\right)^2=\left(1-x\right)4yz\ge0\\ \Leftrightarrow1-x\ge0\Leftrightarrow0< x\le1\\ \Leftrightarrow\left(x-y-z\right)^2=\left(1-x\right)4yz\le\left(1-x\right)\left(y+z\right)^2\\ \Leftrightarrow x^2-2x\left(y+z\right)+\left(y+z\right)^2\le\left(1-x\right)\left(y+z\right)^2\\ \Leftrightarrow x^2-2x\left(y+z\right)\le\left(y+z\right)^2\left(1-x-1\right)=-x\left(y+z\right)^2\\ \Leftrightarrow x-2\left(y+z\right)\le-\left(y+z\right)^2\\ \Leftrightarrow x\le\left(y+z\right)\left[2-\left(y+z\right)\right]\)

Đặt \(2-\left(y+z\right)=t\)

\(P=x\left(1-y\right)\left(1-z\right)\le x\left(\dfrac{1-y+1-z}{2}\right)^2=\dfrac{x\left[2-\left(y+z\right)\right]^2}{4}\\ \Leftrightarrow4P\le x\left[2-\left(y+z\right)\right]^2\le\left(y+z\right)\left[2-\left(y+z\right)\right]^3\\ \Leftrightarrow4P\le t^3\left(2-t\right)=\dfrac{27}{16}-\dfrac{\left(4t^2+4t+3\right)\left(2t-3\right)^2}{16}\)

Mà \(-\dfrac{\left(4t^2+4t+3\right)\left(2t-3\right)^2}{16}\le0\Leftrightarrow4P\le\dfrac{27}{16}\Leftrightarrow P\le\dfrac{27}{64}\)

Dấu \("="\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{4};y=z=\dfrac{1}{4}\)

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\left [\frac{9}{1-(xy+yz+xz)}+\frac{1}{4xyz}\right]\left [1-(xy+yz+xz)+9xyz\right ]\geq (3+\frac{3}{2})^2=\frac{81}{4}\)

\(\Rightarrow P\geq \frac{81}{4[1-(xy+yz+xz)+9xyz]}\) $(1)$

Áp dụng BĐT Am-Gm: \(xy+yz+xz=(x+y+z)(xy+yz+xz)\geq 9xyz\)

\(\Rightarrow 1-(xy+yz+xz)+9xyz\leq 1\) $(2)$

Từ \((1),(2)\Rightarrow P\geq \frac{81}{4}\)

Vậy \(P_{\min}=\frac{81}{4}\Leftrightarrow (x,y,z)=\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)\)