Ta có:\(n^5-n=n\left(n^4-1\right)=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)\)

\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2-4+5\right)\)

\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

Do 5n(n-1)(n+1) có dạng 5k. Do đó chia hết cho 5.

Lại có: n ; n-1 ; n+1 là 3 số tự nhiên liên tiếp nên tích chúng sẽ tồn tại thưa số chia hết cho 3, chia hết cho 2.

Do đó5n(n-1)(n+1) \(⋮30\)

Mặt khác: n(n-1)(n+1)(n-2(n+2) là tích 5 số tự nhiên liên tiêp, do đó tích của chúng có tồn tại 1 thừa số chi hết cho, 5, một thwuaf số chia hết cho 3, một thưa só chia hét cho 2.

Do đó n5-n chia hết cho 30

\(A=n^4-10n^2+9=n^4-n^2-9n^2+9=\left(n^2-1\right)\left(n^2-9\right)=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-3\right)\left(n+3\right)\)

Đặt n = 2k+1 Thay vào A có: \(2k\left(2k+2\right)\left(2k-2\right)\left(2k+4\right)=16k\left(k-1\right)\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)

=> \(A⋮16\)

Lại có k;k-1;k=1;k=2 là 3 số nguyên liên tiếp do đó tích chung số chia hét cho 2,3,4(3 số nguyên tố cùng nhau). Nên A chia hết 24

=> A\(A⋮384\)

Chứng minh A= 10 ^n + 18n - 1 chia hết cho 27

Ta có: 10^n + 18n - 1 = (10^n - 1) + 18n = 99...9 + 18n (số 99...9 có n chữ số 9)
= 9(11...1 + 2n) (số 11...1 có n chữ số 1) = 9.A
Xét biểu thức trong ngoặc A = 11...1 + 2n = 11...1 - n + 3n (số 11...1 có n chữ số 1).
Ta đã biết một số tự nhiên và tổng các chữ số của nó sẽ có cùng số dư trong phép chia cho 3. Số 11...1 (n chữ số 1) có tổng các chữ số là 1 + 1 + ... + 1 = n (vì có n chữ số 1).
=> 11...1 (n chữ số 1) và n có cùng số dư trong phép chia cho 3 => 11...1 (n chữ số 1) - n chia hết cho 3 => A chia hết cho 3 => 9.A chia hết cho 27 hay 10^n + 18n - 1 chia hết cho 27 (đpcm)

Vì n lẻ nên n=2k+1

\(n^4-10n^2+9\)

\(=\left(n^2-1\right)\left(n^2-9\right)\)

\(=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-3\right)\left(n+3\right)\)

\(=\left(2k+1-1\right)\left(2k+1+1\right)\left(2k+1-3\right)\left(2k+1+3\right)\)

\(=2k\cdot\left(2k+2\right)\cdot\left(2k-2\right)\cdot\left(2k+4\right)\)

\(=16k\left(k+1\right)\left(k-1\right)\left(k+2\right)\)

Vì k-1;k+1;k;k+2 là bốn số liên tiếp

nên \(\left(k-1\right)\cdot k\cdot\left(k+1\right)\cdot\left(k+2\right)⋮4!=24\)

\(\Leftrightarrow16k\left(k+1\right)\left(k-1\right)\left(k+2\right)⋮384\)

E mới hk lớp 8 nên chỉ thử có j thông cảm!!

Giả sử tồn tại số tự nhiên n thỏa mãn \(n^2+3n+5⋮121\)

=> \(4\left(n^2+3n+5\right)⋮121\)

=> \(\left(4n^2+12n+9\right)+11⋮121\)

=> \(\left(2n+3\right)^2+11⋮121\)

Vì \(4\left(n^2+3n+5\right)⋮11\)  ( vì \(121⋮11\)) và \(11⋮11\)

=> \(\left(2n+3\right)^2⋮11\)

=> \(\left(2n+3\right)^2⋮121\)  ( vì 11 là số nguyên tố)

=> \(\left(2n+3\right)^2+11\) không chia hết cho 121  ( vì 11 không chia hết cho 121)

hay \(4\left(n^2+3n+5\right)\) không chia hết cho 121

=> \(n^2+3n+5\) ko chia hết cho 121 ( vì 4 và 121 nguyên tố cùng nhau)   ( đpcm)

2.  n=27

trình bày rõ ràng nha

Biến đổi thành : \(n\left(n+2\right)\left(n+4\right)\) rồi thay n=2k vào ta được 8k(k+1)(k+2)

48 =3.16 =3.2.8

cần c/m chia hết ch 3.2.8

\(\left\{{}\begin{matrix}A=n^3+6n^2+8n\\n=2k;k\in Z\end{matrix}\right.\)

\(A=8.k^3+24k^2+16k=8k\left(k^2+3k+2\right)\)

\(A=8k\left[k^2-1+3k+3\right]=8k\left(k-1\right)\left(k+1\right)+8.3.k\left(k+1\right)\)

\(A=8k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)

có k(k+1)(k+2) ba số nguyên liên tiếp => chia hết cho 6

=> A chia hết cho 8.6 =48 => dpcm

tim max duoc thoi nhe ban