1.

$x(x+2)(x+4)(x+6)+8$

$=x(x+6)(x+2)(x+4)+8=(x^2+6x)(x^2+6x+8)+8$

$=a(a+8)+8$ (đặt $x^2+6x=a$)

$=a^2+8a+8=(a+4)^2-8=(x^2+6x+4)^2-8\geq -8$

Vậy $A_{\min}=-8$ khi $x^2+6x+4=0\Leftrightarrow x=-3\pm \sqrt{5}$

2.

$B=5+(1-x)(x+2)(x+3)(x+6)=5-(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)$

$=5-(x^2+5x-6)(x^2+5x+6)$

$=5-[(x^2+5x)^2-6^2]$

$=41-(x^2+5x)^2\leq 41$

Vậy $B_{\max}=41$. Giá trị này đạt tại $x^2+5x=0\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=-5$

3.

Đặt $x+3=a; 7-x=b$ thì $a+b=10$ 

$C=a^4+b^4$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$(a^4+b^4)(1+1)\geq (a^2+b^2)^2$

$\Rightarrow C\geq \frac{(a^2+b^2)^2}{2}$
$(a^2+b^2)(1+1)\geq (a+b)^2=100$

$\Rightarrow a^2+b^2\geq 50$

$\Rightarrow C\geq \frac{50^2}{2}=1250$

Vậy $C_{\min}=1250$

Giá trị này đạt tại $a=b=5\Leftrightarrow x=2$

1:

a: =x^2-7x+49/4-5/4

=(x-7/2)^2-5/4>=-5/4

Dấu = xảy ra khi x=7/2

b: =x^2+x+1/4-13/4

=(x+1/2)^2-13/4>=-13/4

Dấu = xảy ra khi x=-1/2

e: =x^2-x+1/4+3/4=(x-1/2)^2+3/4>=3/4

Dấu = xảy ra khi x=1/2

f: x^2-4x+7

=x^2-4x+4+3

=(x-2)^2+3>=3

Dấu = xảy ra khi x=2

2:

a: A=2x^2+4x+9

=2x^2+4x+2+7

=2(x^2+2x+1)+7

=2(x+1)^2+7>=7

Dấu = xảy ra khi x=-1

b: x^2+2x+4

=x^2+2x+1+3

=(x+1)^2+3>=3

Dấu = xảy ra khi x=-1

Ta có |a|+|b|\(\ge\)|a+b|

Cần chứng minh thì bảo mình

Áp dụng ta có |x-3|+|x-5|=|x-3|+|5-x|\(\ge\)|x-3+5-x|=|2|=2

Vậy GTNN của A là 2

A có GTNN <=> |x - 2| hoặc |x - 3| có GTNN

<=> |x - 2| = 0 hoặc |x - 3| = 0

<=> x = 2 hoặc x = 3

Khi đó A = 5 có GTNN tại x = 2 hoặc x = 3

có mk báo vì :1<2,3<5=> x=2,3

x= 3=> A=5

x=2=> A=5

cô mk bao vây đây là cách chùng mình mà đám học trò nghĩ ra

Ta có B=|x-1|+|x-5|=|x-1|+|5-x|>=|x-1+5-x|= 4

Dấu"=" xảy ra khi: (x-1)(5-x)>0 <=> 1<=x<=5.

C=|x-2|+|x-3|=|x-2|+|3-x|>=|x-2+3-x|=1

Dấu "="xảy ra khi : (x-2)(3-x)>0 <=>2<=x<=x

Vậy A nhỏ nhất là 5 khi 2<=x<=3 

**** tớ nha

b: Thay \(x=7-2\sqrt{6}\) vào A, ta được:

\(A=\dfrac{3\cdot\left(\sqrt{6}-1\right)}{-7+2\sqrt{6}-5\left(\sqrt{6}+1\right)-1}\)

\(=\dfrac{3\cdot\left(\sqrt{6}-1\right)}{-8+2\sqrt{6}-5\sqrt{6}-5}\)

\(=\dfrac{-3\sqrt{6}+3}{13+3\sqrt{6}}=\dfrac{93-48\sqrt{6}}{115}\)

\(A=5+\left|\dfrac{1}{3}-x\right|\ge5\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi \(x=\dfrac{1}{3}\)

\(B=2-\left|x+\dfrac{2}{3}\right|\le2\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi \(x=-\dfrac{2}{3}\)

1. Vì \(x^2\ge0\left(\text{ với mọi x}\right)\)(1)

=>\(x^2+2\ge2>0\)

=>\(\left(x^2+2\right)^2>0\)(2)

Từ (1) và (2) =>\(\frac{x^2}{\left(x^2+2\right)^2}\le\frac{0}{\left(x^2+2\right)^2}=0\) hay A\(\le0\)

=> giá trị lớn nhất của A là 0, khi và chỉ khi \(x^2=0\) <=> x=0.