Trên tia đối của tia CD em lấy điểm J sao cho CJ = AI. Qua M vẽ đường thẳng song song với BI cắt BJ tại N 
Dễ cm tam giác vuông ABI = tam giác vuông CBJ => BI = BJ 
Mặt khác dễ cm BI _|_ BJ => MN _|_ BJ 
Và => MBJ = 90⁰ - MBI => 90⁰ - ABI = 90⁰- CBJ = MJB => tam giác MBJ cân tại M => N là trung điểm của BJ 
Ta có MI >= BN = BJ/2 = BI/2 ( vì BIMN là hình thang vuông tại B và N) ( đpcm) 
Hay BI =< 2MI (đpcm)

a: Xét ΔABM vuông tại B và ΔADN vuông tại D có

AB=AD

BM=DN

Do đó: ΔABM=ΔADN

b: ΔABM=ΔADN

=>AM=AN và \(\widehat{MAB}=\widehat{NAD}\)

\(\widehat{MAB}+\widehat{DAM}=\widehat{BAD}=90^0\)

mà \(\widehat{MAB}=\widehat{NAD}\)

nên \(\widehat{DAM}+\widehat{DAN}=90^0\)

=>\(\widehat{MAN}=90^0\)

Xét ΔAMN có AM=AN và \(\widehat{MAN}=90^0\)

nênΔAMN vuông cân tại A

d: ΔAMN cân tại A

mà AI là đường phân giác

nên I là trung điểm của MN và AI\(\perp\)MN tại I

=>AP\(\perp\)MN tại I

Xét ΔPNM có

PI là đường cao

PI là đường trung tuyến

Do đó: ΔPNM cân tại P

=>PN=PM

=>PM=PD+DN=PD+BM

Sai đề

đề bạn mk đọc sau đó vẽ nó không ra hình

a: Xét ΔADI vuông tại D và ΔAHI vuông tại H có

AI chung

\(\widehat{DAI}=\widehat{HAI}\)

Do đó: ΔADI=ΔAHI

=>AD=AH

mà AD=AB

nên AH=AB

Xét ΔABK vuông tại B và ΔAHK vuông tại H có

AB=AH

AK chung

DO đó: ΔABK=ΔAHK

b: ΔAHK=ΔABK

=>\(\widehat{HAK}=\widehat{BAK}\)

=>AK là phân giác của \(\widehat{BAH}\)

=>\(\widehat{HAK}=\dfrac{1}{2}\cdot\widehat{BAH}\)

\(\widehat{IAK}=\widehat{IAH}+\widehat{HAK}\)

\(=\dfrac{1}{2}\cdot\widehat{DAH}+\dfrac{1}{2}\cdot\widehat{BAH}\)

\(=\dfrac{1}{2}\cdot\left(\widehat{DAH}+\widehat{BAH}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot90^0=45^0\)