1.

$x(x+2)(x+4)(x+6)+8$

$=x(x+6)(x+2)(x+4)+8=(x^2+6x)(x^2+6x+8)+8$

$=a(a+8)+8$ (đặt $x^2+6x=a$)

$=a^2+8a+8=(a+4)^2-8=(x^2+6x+4)^2-8\geq -8$

Vậy $A_{\min}=-8$ khi $x^2+6x+4=0\Leftrightarrow x=-3\pm \sqrt{5}$

2.

$B=5+(1-x)(x+2)(x+3)(x+6)=5-(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)$

$=5-(x^2+5x-6)(x^2+5x+6)$

$=5-[(x^2+5x)^2-6^2]$

$=41-(x^2+5x)^2\leq 41$

Vậy $B_{\max}=41$. Giá trị này đạt tại $x^2+5x=0\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=-5$

3.

Đặt $x+3=a; 7-x=b$ thì $a+b=10$ 

$C=a^4+b^4$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$(a^4+b^4)(1+1)\geq (a^2+b^2)^2$

$\Rightarrow C\geq \frac{(a^2+b^2)^2}{2}$
$(a^2+b^2)(1+1)\geq (a+b)^2=100$

$\Rightarrow a^2+b^2\geq 50$

$\Rightarrow C\geq \frac{50^2}{2}=1250$

Vậy $C_{\min}=1250$

Giá trị này đạt tại $a=b=5\Leftrightarrow x=2$

a) GTNN = 0 khi x = -1

b) GTNN = 503 khi x =0

Ta có:\(\left|x+1\right|\ge0;\left|3x+4\right|\ge0;\left|x-1\right|\ge0\)

\(\Rightarrow Min_A=5\)

\(A\le\sqrt{\left(3^2+4^2\right)\left(x-1\right)\left(5-x\right)}=10\)

\(A_{max}=10\) khi \(\dfrac{\sqrt{x-1}}{3}=\dfrac{\sqrt{5-x}}{4}\Rightarrow x=\dfrac{61}{25}\)

\(A=3\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}\right)+\sqrt{5-x}\ge3\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}\right)\ge3\sqrt{x-1+5-x}=6\)

\(A_{min}=6\) khi \(x=5\)

+) Xét Ix-1I + Ix-5I

Áp dụng BĐT: \(|a|+|b|\)\(\ge\)\(|a-b|\),ta có:

\(|x-1|+|x-5|\ge|x-1-x+5|=4\)

Dấu "=" xảy ra khi (x-1)(x-5) \(\le\)0

+) Xét Ix-2I + Ix-4I

Áp dụng BĐT: \(|a|+|b|\)\(\ge\)\(|a-b|\),ta có:

\(|x-2|+|x-4|\ge|x-2-x+4|=2\)

Dấu "=" xảy ra khi (x-2)(x-4) \(\le\)0

+) Xét Ix-3I

Vì Ix-3I\(\ge\)0 

Dấu "=' xảy ra khi x-3=0 hay x=3

Suy ra: A = Ix-1I + Ix-2I + Ix-3I + Ix-4I + Ix-5I + 2019 \(\ge\)4+2+0+2019 = 2025

Dấu"=" xảy ra khi x=3

Vậy gtnn của A là 2025 tại x=3

khi làm bài dạng này cần xét từng cặp có độ "chênh đơn vị" nhỏ dần,rồi đến cái cuối cùng xét riêng nó lấy x,đó là gt đúng của x

Phải là Bất đẳng thức :  \(|a|+|b|\ge|a+b|\) chứ

Bỏ các dấu giá trị tuyệt đối , ta xét các trường hợp sau:

+) Nếu x < - 4 :

=> A = - (x - 5) - (x+4) - (x - 2) - (x - 1) = -x + 5 - x - 4 - x + 2 - x + 1 = -4x + 4 

Vì x < - 4 => -4x > (-4).(-4) => -4x + 4 > 16 + 4 = 20 =>A > 20

+) Nếu -4 \(\le\) x < 1 

=> A = - (x - 5) + x + 4 - (x - 2) - (x - 1) = -x + 5 +x + 4 - x + 2 -x + 1 = -2x + 12 

x < 1 => -2x + 12 > (-2) .1 + 12 = 10 => A > 10

+) Nếu 1  \(\le\) x < 2 => A = -(x - 5) + x+ 4 - (x - 2) + (x - 1) = -x + 5 + x+ 4 -x + 2 + x - 1 = 12

+) Nếu 2 \(\le\) x < 5 

=> A = -x + 5 + x+ 4 + x - 2 + x - 1 = 2x+ 6 \(\ge\) 2.2 + 6 = 10

+) Nếu x \(\ge\) 5 

=> A = x - 5 + x+ 4 + x - 2 + x - 1 = 4x -4 \(\ge\) 4.5 - 4 = 16 

Từ các trường hợp trên => A nhỏ nhất = 10 khi 2 \(\le\) x < 5 

\(y=x+\dfrac{1}{x}-5\ge2\sqrt{\dfrac{x}{x}}-5=-3\)

\(y_{min}=-3\) khi \(x=1\)

\(y=4x^2+\dfrac{1}{2x}+\dfrac{1}{2x}-4\ge3\sqrt[3]{\dfrac{4x^2}{2x.2x}}-4=-1\)

\(y_{min}=-1\) khi \(x=\dfrac{1}{2}\)

\(y=x+\dfrac{4}{x}\Rightarrow y'=1-\dfrac{4}{x^2}=0\Rightarrow x=-2\)

\(y\left(-2\right)=-4\Rightarrow\max\limits_{x>0}y=-4\) khi \(x=-2\)