Giả sử ta có đường tròn đường kính AB = 2R và một dây CD.

Trong ΔCOD, theo bất đẳng thức tam giác ta có:

    CD ≤ OC + CD

=> CD ≤ 2R

=> CD ≤ AB (đpcm)

Giả sử CD là một dây của đường tròn bán kính R và AB là một đường kính của nó. Ta có:

- Nếu C, O, D không thẳng hàng thì trong tam giác COD có

CD < OC + OD = 2R = AB.

- Nếu C, O, D thằng hàng thì

CD < OC + OD = R + R = 2R (1)

Do AB là đường kính nên: AB = 2R (2)

Từ (1) và (2) suy ra: CD < AB .

Vậy trong mọi trường hợp ta luôn có đường kính là dây lớn nhất.

Giả sử ta có đường tròn tâm O đường kính AB, dây CD khác với đường kính

Vì O,C,D không thẳng hàng

nên DC<OC+OD=2R=AB

=>AB là dây lớn nhất

Cách 1: (Chứng minh trực tiếp)

Gọi C là chân đường cao hạ từ O xuống AB.

ΔOAB có OA = OB = R nên tam giác này cân tại O

⇒ đường cao OC đồng thời là phân giác

Cách 2: (Chứng minh phản chứng)

Giả sử Ax không phải tiếp tuyến của (O)

⇒ Ax là cắt (O) tại C khác A.

+ C nằm trên cung nhỏ AB

+ C nằm trên cung lớn AB

Mà  là góc ngoài của tam giác BAC

Vậy giả sử là sai ⇒ Ax là tiếp tuyến của đường tròn tâm O.

Kiến thức áp dụng

+ Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.

Cách 1: (Chứng minh trực tiếp)

Gọi C là chân đường cao hạ từ O xuống AB.

ΔOAB có OA = OB = R nên tam giác này cân tại O

⇒ đường cao OC đồng thời là phân giác

Cách 2: (Chứng minh phản chứng)

Giả sử Ax không phải tiếp tuyến của (O)

⇒ Ax là cắt (O) tại C khác A.

+ C nằm trên cung nhỏ AB

+ C nằm trên cung lớn AB

Mà  là góc ngoài của tam giác BAC

Vậy giả sử là sai ⇒ Ax là tiếp tuyến của đường tròn tâm O.

Ta có I thuộc đường tròn tâm O bán kính R = O A 2 - C D 2 4 = 1 2 4 O A 2 - C D 2

a) Gọi O’ là tâm của đường tròn đường kính OA.

Gọi R và r lần lượt là bán kính đường tròn tâm O và tâm O’.

Suy ra, hai đường tròn đã cho tiếp xúc trong với nhau.

b) +) Xét đường tròn (O’) có A, O, C là ba điểm cùng thuộc đường tròn và OA là đường kính nên tam giác AOC vuông tại C.

⇒ OC ⊥ AD

+) Xét đường tròn tâm (O) có A, D là hai điểm thuộc đường tròn nên OA = OD

⇒ ΔAOD cân tại O mà OC ⊥ AD

⇒ OC là đường trung tuyến của ΔAOD

⇒ C là trung điểm của AD

⇒ AC = CD