Lời giải:

Nếu $x=-2$ thì HBPT $\Leftrightarrow $m\geq -2$

Nếu $x\neq -2$ thì HBPT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+1\geq 0\\ x\leq m\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} x\geq -1\\ x\leq m\end{matrix}\right.\Leftrightarrow -1\leq x\leq m(*)\).

Giả sử $m>-1$ thì HBPT có vô số nghiệm thực $x$

Giả sử $m< -1$ thì $(*)$ vô lý nên HBPT chỉ có thể nhận nhiều nhất 1 nghiệm $x=-2$

Giả sử $m=-1$ thì $(*)$ có nghiệm $x=-1$. Tổng kết lại HBPT có 2 nghiệm $x=-1$ và $x=-2$

- Với \(m=\dfrac{1}{2}\) ko thỏa mãn

- Với \(m\ne\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(2m-1\right)x^3-\left(2m-1\right)x^2-\left(m-2\right)x^2+\left(m-4\right)x+2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(2m-1\right)x^2\left(x-1\right)-\left(x-1\right)\left[\left(m-2\right)x+2\right]\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left[\left(2m-1\right)x^2-\left(m-2\right)x-2\right]\ge0\) (1)

Do (1) luôn chứa 1 nghiệm \(x=1\in\left(0;+\infty\right)\) nên để bài toán thỏa mãn thì cần 2 điều sau đồng thời xảy ra:

+/ \(2m-1>0\Rightarrow m>\dfrac{1}{2}\)

+/ \(\left(2m-1\right)x^2-\left(m-2\right)x-2=0\) có 2 nghiệm trong đó \(x_1\le0\) và \(x_2=1\)

Thay \(x=1\) vào ta được:

\(\left(2m-1\right)-\left(m-2\right)-2=0\Leftrightarrow m=1\)

Khi đó: \(x^2+x-2=0\) có 2 nghiệm \(\left[{}\begin{matrix}x_1=-2< 0\left(thỏa\right)\\x_2=1\end{matrix}\right.\)

Vậy \(m=1\)

Bpt \(\left(m-1\right)x^2+2\left(m+2\right)x+2m+2\ge\) vô nghiệm

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m-1< 0\\\Delta'=\left(m+2\right)^2-\left(m-1\right)\left(2m+2\right)< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 1\\-m^2+4m+6< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 1\\\left[{}\begin{matrix}m< 2-\sqrt{10}\\m>\sqrt{2+\sqrt{10}}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m< 2-\sqrt{10}}\)

a: \(A=\left(\dfrac{\left(x-4\right)\left(\sqrt{x}+2\right)-x\sqrt{x}+8}{x-4}\right):\dfrac{x-2\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}+2}\)

\(=\dfrac{x\sqrt{x}+2x-4\sqrt{x}-8-x\sqrt{x}+8}{x-4}\cdot\dfrac{\sqrt{x}+2}{x-2\sqrt{x}+4}\)

\(=\dfrac{2x-4\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}\cdot\dfrac{1}{x-2\sqrt{x}+4}=\dfrac{2\sqrt{x}}{x-2\sqrt{x}+4}\)

b: \(A-1=\dfrac{2\sqrt{x}-x+2\sqrt{x}-4}{x-2\sqrt{x}+4}\)

\(=\dfrac{-x+4\sqrt{x}-4}{x-2\sqrt{x}+4}=\dfrac{-\left(\sqrt{x}-2\right)^2}{\left(\sqrt{x}-1\right)^2+3}< 0\)

=>A<1

c: \(2\sqrt{x}>=0;x-2\sqrt{x}+4=\left(\sqrt{x}-1\right)^2+3>0\)

=>A>=0 với mọi x thỏa mãn  ĐKXĐ

mà A<1

nên 0<=A<1

=>Để A nguyên thì A=0

=>x=0

\(x^2-2x+4\sqrt{\left(4-x\right)\left(x+2\right)}-18+m\ge0\)

\(\Leftrightarrow-\left(-x^2+2x+8\right)+4\sqrt{-x^2+2x+8}\ge10-m\left(1\right)\)

Đặt \(t=\sqrt{-x^2+2x+8}\left(0\le t\le3\right)\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow10-m\le f\left(t\right)=-t^2+4t\)

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi 

\(10-m\le minf\left(t\right)=min\left\{f\left(0\right);f\left(3\right);f\left(2\right)\right\}=f\left(0\right)=0\)

\(\Leftrightarrow m\ge10\)

Vậy \(m\ge10\)

\(ycđb\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\Delta\le0\Leftrightarrow\left(m-5\right)^2\le0\Leftrightarrow m=5\\1\le x1< x2\left(1\right)\\x1< x2\le-1\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Delta>0\Leftrightarrow\left(m-5\right)^2>0\Leftrightarrow m\ne5\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x1-1\right)\left(x2-1\right)\ge0\\x1+x2-2>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x1x2-\left(x1+x2\right)+1\ge0\\5m-5-2>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6m^2-10m-\left(5m-5\right)+1\ge0\\m>\dfrac{7}{5}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}m\le\dfrac{1}{2}\\m\ge2\end{matrix}\right.\\m>\dfrac{7}{5}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ge2\\m\ne5\end{matrix}\right.\)

\(\left(2\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x1+1\right)\left(x2+1\right)\ge0\\x1+x2+2< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x1x2+x1+x2+1\ge0\\x1+x2+2< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6m^2-10m+5m-5+1\ge0\\5m-5-2< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}m\le-\dfrac{1}{2}\\m\ge\dfrac{4}{3}\end{matrix}\right.\\m< \dfrac{7}{5}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m\in[\dfrac{4}{3};\dfrac{7}{5})\\m\le-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\)\(m\in(-\infty;-\dfrac{1}{2}]\cup[\dfrac{4}{3};\dfrac{7}{5})\cup[2;+\infty)\cup\left\{5\right\}\)

Bài 1 \(\left\{{}\begin{matrix}x^2-3x-4\le0\\\left(m-1\right)x\ge2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-1\le x\le4\\\left(m-1\right)x\ge2\end{matrix}\right.\)

Nếu m = 1, hệ vô nghiệm

Nếu m ≠ 1, hệ tương đương

\(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}-1\le m< 1\\x\le\dfrac{2}{m-1}\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}1< m\le4\\x\ge\dfrac{2}{m-1}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

Hệ có nghiệm khi một trong hai hệ trong hệ ngoặc vuông có nghiệm ⇔ \(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}-1\le m< 1\\\dfrac{2}{m-1}\ge-1\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}1< m\le4\\\dfrac{2}{m-1}\le4\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

⇔ \(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}-1\le m< 1\\-2\le1-m\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}1< m\le4\\2\le4m-4\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}-1\le m< 1\\\dfrac{3}{2}\le m\le4\end{matrix}\right.\)