Ta có:

\(\left(x+y\right):\left(5-z\right):\left(y+z\right):\left(9+y\right)=3:1:2:5\)

\(\Rightarrow\dfrac{x+y}{3}=\dfrac{5-z}{1}=\dfrac{y+z}{2}=\dfrac{9+y}{5}\)

Đặt \(\dfrac{x+y}{3}=\dfrac{5-z}{1}=\dfrac{y+z}{2}=\dfrac{9+y}{5}=k\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=3k\\5-z=k\\y+z=2k\\9+y=5k\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3k-y\left(1\right)\\z=5-k\left(2\right)\\z=2k-y\left(3\right)\\y=5k-9\left(4\right)\end{matrix}\right.\)

Từ (3) và (4)

\(\Rightarrow z=2k-\left(5k-9\right)\)

\(\Rightarrow z=2k-5k+9\left(5\right)\)

Từ (2) và (5)

\(\Rightarrow z=2k-5k+9=5-k\)

\(\Rightarrow2k-5k+9-5+k=0\)

\(\Rightarrow2k-5k+k+\left(9-5\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(-2\right)k+4=0\)

\(\Rightarrow\left(-2\right)k=-4\)

\(\Rightarrow k=2\left(6\right)\)

Từ (2) và (6)

\(\Rightarrow z=5-2=3\)

Từ (4) và (6)

\(\Rightarrow y=5.2-9=1\)

Từ (1) và (6)

\(\Rightarrow x=3.2-1=5\)

Vậy \(x=5;y=1;z=3\)

Vì đây là lần đầu tiên mình làm bài này nên chỗ nào trình bày chưa được mong bạn sửa giúp ạ!

a

Đề bài âu

Ta có : \(\frac{x}{4}=\frac{y}{2}=\frac{z}{5}\) và \(2y^2+z^2-x^2=17\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau , ta có :

 \(\frac{x}{4}=\frac{y}{2}=\frac{z}{5}=\frac{2y^2+z^2-x^2}{2.2^2+5^2-4^2}=\frac{17}{17}=1\)

\(\Rightarrow\begin{cases}\frac{x}{4}=1\Rightarrow x=1.4=4\\\frac{y}{2}=1\Rightarrow y=2.1=2\\\frac{z}{5}=1\Rightarrow z=5.1=5\end{cases}\)

Vậy .................

\(\frac{x}{4}=\frac{y}{2}=\frac{z}{5}\)

=> \(\frac{x^2}{16}=\frac{2y^2}{8}=\frac{z^2}{25}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số = nhau ta có:

\(\frac{x^2}{16}=\frac{2y^2}{8}=\frac{z^2}{25}=\frac{2y^2+z^2-x^2}{8+25-16}=\frac{17}{17}=1\)

=> \(\begin{cases}x^2=1.16=16\\y^2=1.8:2=4\\z^2=1.25=25\end{cases}\) => \(\begin{cases}x\in\left\{4;-4\right\}\\y\in\left\{2;-2\right\}\\z\in\left\{5;-5\right\}\end{cases}\)

Vậy \(\begin{cases}x=4\\y=2\\z=5\end{cases}\); \(\begin{cases}x=-4\\y=-2\\z=-5\end{cases}\)

Ta có : \(\frac{x}{2}=\frac{y}{3};\frac{y}{4}=\frac{y}{5}\)

Quy đòng : \(\frac{x}{8}=\frac{y}{12}=\frac{z}{15}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau , ta có :

  \(\frac{x}{8}=\frac{y}{12}=\frac{z}{15}=\frac{x+y+z}{8+12+15}=\frac{35}{35}=1\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}\frac{x}{8}=1\Rightarrow x=1.8=8\\\frac{y}{12}=1\Rightarrow y=1.12=12\\\frac{z}{15}=1\Rightarrow z=1.15=15\end{cases}\)

Vậy x = 8 ; y = 12 ; z = 15

\(\frac{x}{2}=\frac{y}{3};\frac{y}{4}=\frac{z}{5}\Rightarrow\frac{x}{8}=\frac{y}{12}=\frac{z}{15}\)

x + y + z = 35 => \(\frac{x}{8}=\frac{y}{12}=\frac{z}{15}\Rightarrow\frac{x+y+z}{8+12+15}=\frac{35}{35}=1\)

=> x = 1 . 8 = 8

y = 1 . 12 = 12

z = 1 . 15 = 15

=> tự KL 

Theo đề bài, ta có:

\(\frac{x}{2}=\frac{y}{3};\frac{y}{4}=\frac{z}{5}\) và x+y+z=35

\(\Rightarrow\frac{x}{8}=\frac{y}{12};\frac{y}{12}=\frac{z}{15}\) và x+y+z=35

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

\(\frac{x}{8}=\frac{y}{12}=\frac{z}{15}=\frac{x+y+z}{8+12+15}=\frac{35}{35}=1\)

Vậy x=8,y=12,z=15

 ^...^ ^_^

a) Ta có \(x:2=y:-5.\)

=> \(\frac{x}{2}=\frac{y}{-5}\) và \(x-y=14.\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:

\(\frac{x}{2}=\frac{y}{-5}=\frac{x-y}{2-\left(-5\right)}=\frac{14}{7}=2.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{x}{2}=2=>x=2.2=4\\\frac{y}{-5}=2=>y=2.\left(-5\right)=-10\end{matrix}\right.\)

Vậy \(\left(x;y\right)=\left(4;-10\right).\)

k) Ta có \(\frac{x}{3}=\frac{y}{4}\Rightarrow\frac{x}{15}=\frac{y}{20}.\)

\(\frac{y}{5}=\frac{z}{7}\Rightarrow\frac{y}{20}=\frac{z}{28}.\)

=> \(\frac{x}{15}=\frac{y}{20}=\frac{z}{28}\)

=> \(\frac{2x}{30}=\frac{3y}{60}=\frac{z}{28}\) và \(2x+3y-z=186.\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:

\(\frac{2x}{30}=\frac{3y}{60}=\frac{z}{28}=\frac{2x+3y-z}{30+60-28}=\frac{186}{62}=3.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{x}{15}=3=>x=3.15=45\\\frac{y}{20}=3=>y=3.20=60\\\frac{z}{28}=3=>z=3.28=84\end{matrix}\right.\)

Vậy \(\left(x;y;z\right)=\left(45;60;84\right).\)

Mình chỉ làm 2 câu thôi nhé.

Chúc bạn học tốt!

Bạn này riết quá, mình cũng đang bận nữa :(

b) \(21x=19y\Leftrightarrow\frac{x}{19}=\frac{y}{21}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau :

\(\frac{x}{19}=\frac{y}{21}=\frac{x-y}{19-21}=\frac{14}{-2}=-7\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-38\\y=-42\end{matrix}\right.\)

Vậy...

c) Xem lại đề nhé.

d) \(\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{5}\Leftrightarrow\frac{x^2}{4}=\frac{y^2}{9}=\frac{z^2}{25}=\frac{x^2+y^2-z^2}{4+9-25}=\frac{-12}{-12}=1\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2=4\\y^2=9\\z^2=25\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\pm2\\y=\pm3\\z=\pm5\end{matrix}\right.\)

Vậy...

e) \(5x=2y\Leftrightarrow\frac{x}{2}=\frac{y}{5}\)(1)

\(3y=5z\Leftrightarrow\frac{y}{5}=\frac{z}{3}\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{x}{2}=\frac{y}{5}=\frac{z}{3}=\frac{x+y+z}{2+5+3}=\frac{-720}{10}=-72\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-144\\y=-360\\z=-216\end{matrix}\right.\)

Vậy...

f) \(\frac{2x}{3}=\frac{3y}{4}=\frac{4z}{5}=\frac{x}{\frac{3}{2}}=\frac{y}{\frac{4}{3}}=\frac{z}{\frac{5}{4}}=\frac{x+y+z}{\frac{3}{2}+\frac{4}{3}+\frac{5}{4}}=12\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=18\\y=16\\z=15\end{matrix}\right.\)

g) Áp dụng TCDTSBN:

\(\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}=\frac{2\left(x-1\right)+3\left(y-2\right)-\left(z-3\right)}{2\cdot2+3\cdot3-4}\)

\(=\frac{2x-2+3y-6-z+3}{9}=\frac{45}{9}=5\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=11\\y=17\\z=23\end{matrix}\right.\)

Vậy...

h) \(\frac{y-z+1}{x}=\frac{x+z+2}{y}=\frac{x+y-3}{z}=\frac{y-z+1+x+z+2+x+y-3}{x+y+z}=\frac{2x+2y}{x+y+z}\)

Suy ra \(\frac{2x+2y}{x+y+z}=\frac{1}{x+y+z}\Leftrightarrow2x+2y=1\Leftrightarrow x+y=\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{\frac{1}{2}-3}{z}=\frac{1}{\frac{1}{2}+z}\Leftrightarrow z=\frac{5}{6}\)

Từ đó suy ra : \(\frac{y-z+1}{x}=\frac{x+z+2}{y}=-3\)

Ta có hệ :

\(\left\{{}\begin{matrix}y-z+1=-3x\\x+z+2=-3y\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y-\frac{5}{6}+1=-3x\\x+\frac{5}{6}+2=-3y\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y+\frac{1}{6}=-3x\\x+\frac{17}{6}=-3y\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=-3x-\frac{1}{6}\\x+\frac{17}{6}=-3\left(-3x-\frac{1}{6}\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{7}{24}\\y=\frac{-25}{24}\end{matrix}\right.\)

Vậy...

\(x^3+3x^2+3x+1+y^3+3y^3+3y+1+x+y+2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^3+\left(y+1\right)^3+x+y+2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+2\right)\left(\left(x+1\right)^2+\left(y+1\right)^2-\left(x+1\right)\left(y+1\right)\right)+\left(x+y+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+2\right)\left(\left(x+1\right)^2+\left(y+1\right)^2-\left(x+1\right)\left(y+1\right)+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x+y+2=0\)

(phần trong ngoặc \(\left(x+1\right)^2-\left(x+1\right)\left(y+1\right)+\frac{\left(y+1\right)^2}{4}+\frac{3\left(y+1\right)^2}{4}+1\)

\(=\left(x+1-\frac{y+1}{4}\right)^2+\frac{3\left(y+1\right)^2}{4}+1\) luôn dương)

\(\Rightarrow x+y=-2\)

Mà \(xy>0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x< 0\\y< 0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-x>0\\-y>0\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(\frac{1}{-x}+\frac{1}{-y}\ge\frac{4}{-\left(x+y\right)}=2\) \(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\le-2\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=-1\)

2/ \(x;y;z\ne0\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}+\frac{1}{z}-\frac{1}{x+y+z}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}+\frac{x+y}{xz+yz+z^2}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz+yz+z^2}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(\frac{xy+yz+xz+z^2}{xyz\left(x+y+z\right)}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{xyz\left(x+y+z\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-y\\y=-z\\z=-x\end{matrix}\right.\) dù trường hợp nào thì thay vào ta đều có \(B=0\)

3/ \(\Leftrightarrow mx-2x+my-y-1=0\)

\(\Leftrightarrow m\left(x+y\right)-\left(2x+y+1\right)=0\)

Gọi \(A\left(x_0;y_0\right)\) là điểm cố định mà d đi qua

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0+y_0=0\\2x_0+y_0+1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0=-1\\y_0=1\end{matrix}\right.\)

Vậy d luôn đi qua \(A\left(-1;1\right)\) với mọi m