Giả sử có 1 nhóm người gồm 2n người, trong đó có n nam và n nữ.

Chọn n người từ 2n người đó, ta thực hiện theo 2 cách:

- Cách 1: chọn bất kì, có \(C_{2n}^n\) cách (1)

- Cách 2: giả sử trong n người được chọn có k nữ và \(n-k\) nam

Chọn k nữ từ n nữ, có \(C_n^k\) cách

Chọn \(n-k\) nam từ n nam, có \(C_n^{n-k}\) cách

Số cách thỏa mãn: \(\sum\limits^n_{k=0}C_n^kC_n^{n-k}=\sum\limits^n_{k=0}C_n^kC_n^k=\sum\limits^n_{k=0}\left(C_n^k\right)^2\) (2)

(1); (2) \(\Rightarrow\sum\limits^n_{k=0}\left(C_n^k\right)^2=C_{2n}^n\)

1/ \(2C^k_n+5C^{k+1}_n+4C^{k+2}_n+C^{k+3}_n\)

\(=2\left(C^k_n+C_n^{k+1}\right)+3\left(C^{k+1}_n+C^{k+2}_n\right)+\left(C^{k+2}_n+C^{k+3}_n\right)\)

\(=2C_{n+1}^{k+1}+3C_{n+1}^{k+2}+C_{n+1}^{k+3}\)

\(=2\left(C_{n+1}^{k+1}+C_{n+1}^{k+2}\right)+\left(C_{n+1}^{k+2}+C^{k+3}_{n+1}\right)\)

\(=2C_{n+2}^{k+2}+C_{n+2}^{k+3}=C_{n+2}^{k+2}+\left(C_{n+2}^{k+2}+C_{n+2}^{k+3}\right)=C_{n+2}^{k+2}+C_{n+3}^{k+3}\)

Áp dụng ct:C(k)(n)=C(k)(n-1)+C(k-1)(n-1) có:
................C(k-1)(n-1)= C(k)(n) - C(k)(n-1)
tương tự: C(k-1)(n-2)= C(k)(n-1) - C(k)(n-2)
................C(k-1)(n-3)= C(k)(n-2) -C(k)(n-3)
.........................................
................C(k-1)(k-1)= C(k)(k) (=1)
Cộng 2 vế vào với nhau...-> đpcm

n=4

chỗ nào không cứ hỏi mình nhé

a) Chọn 4 trong 50 bạn để quét sân, sau đó chọn 5 trong 46 bạn còn lại để xén cây. Vậy có \(C^4_{50}.C^4_{46}\) cách phân công.

Từ đó ta có đẳng thức cần chứng minh

b) Lập luận tương tự

c) Ta có : \(0!=1;2!=2;4!=1.2.3.4=24\)

Các số hạng \(6!;8!;.....,100!\) đều có tận cùng là chữ số \(0\). Do đó chữ số ở hàng đơn vị của \(S\) là \(1+2+4=7\)