Question

Giải phương trình

\(C_n^4\)+\(C_n^5\)= 3\(C_{n+1}^6\)

Answer 1

Điều kiện là n\(\ge\)5, n\(\in\)Z

Ta có

\(\Leftrightarrow\) \(C_{n+1}^5\) = 3\(C_{n+1}^6\) (áp dụng công thức \(C_{n+1}^k\) = \(C_n^k\) + \(C_n^{k-1}\))

\(\Leftrightarrow\) \(\frac{\left(n+1\right)!}{\left(n-4\right)!5!}\) = 3\(\frac{\left(n+1\right)!}{\left(n-5\right)!6!}\)

\(\Leftrightarrow\) \(\frac{1}{\left(n-4\right)!5!}\) = \(\frac{3}{\left(n-5\right)!6!}\)

\(\Leftrightarrow\) \(\frac{1}{n-4}\) = \(\frac{3}{6}\)

\(\Leftrightarrow\) 3n - 12 = 6

\(\Leftrightarrow\) n = 6

Rõ ràng n = 6 thỏa mãn điều kiện n\(\ge\) 5, n \(\in\) Z. Vậy nghiệm duy nhất của chương trình đã cho là n = 6.