\(S=1-2+2^2-2^3+...+2^{2012}-2^{2013}\)

\(\Rightarrow2S=2-2^2+2^3-2^4+...+2^{2013}-2^{2014}\)

\(\Rightarrow2S+S=2-2^2+2^3-...-2^{2014}+1-2^2-2^3+...-2^{2013}\)

\(\Rightarrow3S=1-2^{2014}\)\(\Rightarrow3S-2^{2014}=1-2^{2015}\)

ta có: \(S=1-2+2^2-2^3+2^4-2^5+...+2^{2013}-2^{2014}\)

\(\Rightarrow2S=2-2^2+2^3-2^4+2^5-2^6+...+2^{2014}-2^{2015}\)

=> 2S + S = -2²⁰¹⁵ + 1

=> 3S = -2²⁰¹⁵ + 1

=> 3S - 1 = -2²⁰¹⁵

=> 1 - 3S = 2²⁰¹⁵

( cn về S = 1 - 2 + 22 - 23 + 24-25+...+22013 - 22014 mk vx chưa hiểu quy luật của nó lắm, thật lòng xl bn nha! mk chỉ bk z thoy!)

1/

Tổng A là tổng các số hạng cách đều nhau 4 đơn vị.

Số số hạng: $(101-1):4+1=26$

$A=(101+1)\times 26:2=1326$

2/

$B=(1+2+2^2)+(2^3+2^4+2^5)+(2^6+2^7+2^8)+(2^9+2^{10}+2^{11})$

$=(1+2+2^2)+2^3(1+2+2^2)+2^6(1+2+2^2)+2^9(1+2+2^2)$

$=(1+2+2^2)(1+2^3+2^6+2^9)$

$=7(1+2^3+2^6+2^9)\vdots 7$

3/
$C=1+2+2^2+2^3+...+2^{99}$

$2C=2+2^2+2^3+2^4+...+2^{100}$

$\Rightarrow 2C-C=2^{100}-1$

$\Rightarrow C=2^{100}-1$

Số số hạng của A:

90 - 1 + 1 = 90 (số)

Do 90 chia hết cho 3 nên có thể nhóm thành nhóm 3 số hạng

Ta có:

A = 2¹ + 2² + 2³ + ... + 2⁹⁰

= (2 + 2² + 2³) + (2⁴ + 2⁵ + 2⁶) + ... + (2⁸⁸ + 2⁸⁹ + 2⁹⁰)

= 2.(1 + 2 + 2²) + 2⁴.(1 + 2 + 2²) + ... + 2⁸⁸.(1 + 2 + 2²)

= 2.7 + 2⁴.7 + ... + 2⁸⁸.7

= 7.(2 + 2⁴ + ... + 2⁸⁸) ⋮ 7

Vậy A ⋮ 7

b) A = 2¹ + 2² + 2³ + ... + 2⁹⁰

⇒ 2A = 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2⁹¹

⇒ A = 2A - A = (2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2⁹¹) - (2 + 2² + 2³ + ... + 2⁹⁰)

= 2⁹¹ - 2

a: \(2A=2^2+2^3+...+2^{61}\)

=>A=2^61-2

b: \(A=2\left(1+2+2^2\right)+2^4\left(1+2+2^2\right)+...+2^{58}\left(1+2+2^2\right)\)

\(=7\left(2+2^4+...+2^{55}+2^{58}\right)\) chia hết cho 7(1)

\(A=2\left(1+2\right)+2^3\left(1+2\right)+...+2^{59}\left(1+2\right)=3\left(2+2^3+...+2^{59}\right)⋮3\left(2\right)\)

Từ (1), (2) suy ra A chia hết cho 21

a, Ta có :

 A =  1 + 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + . . . + 2 99 + 2 100

2A =  2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + . . . + 2 99 + 2 100 + 2 101

A = 2A – A =  ( 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + . . . + 2 99 + 2 100 + 2 101 ) –( 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + . . . + 2 99 + 2 100 )

=  2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + . . . + 2 99 + 2 100 + 2 101 – 1 - 2 - 2 2 - 2 3 - 2 4 - . . . - 2 99 - 2 100

=  2 101 - 1

Vậy A =  2 101 - 1

b, Ta có.

B = 5 + 5 3 + 5 5 + . . . + 5 97 + 5 99

5 2 B =  5 2 ( 5 + 5 3 + 5 5 + . . . + 5 97 + 5 99 )

25B =  5 3 + 5 5 + . . . + 5 97 + 5 99 + 5 101

25B – B = ( 5 3 + 5 5 + . . . + 5 97 + 5 99 + 5 101 ) –  ( 5 + 5 3 + 5 5 + . . . + 5 97 + 5 99 )

24B =  5 3 + 5 5 + . . . + 5 97 + 5 99 + 5 101 – 5 - 5 3 - 5 5 - . . . - 5 97 - 5 99

24B =  5 101 - 5

B =  5 101 - 5 24 = 5 5 100 - 1 24

Vậy B =  5 5 100 - 1 24

`#3107`

\(A=1+2^1+2^2+2^3+...+2^{2015}\)

\(2A=2+2^2+2^3+2^4+...+2^{2016}\)

\(2A-A=\left(2+2^2+2^3+2^4+...+2^{2016}\right)-\left(1+2+2^2+2^3+...+2^{2015}\right)\)

\(A=2+2^2+2^3+2^4+...+2^{2016}-1-2-2^2-2^3-...-2^{2015}\)

\(A=2^{2016}-1\)

Vậy, \(A=2^{2016}-1.\)

\(A=2^0+2^1+2^2+...+2^{2015}\)

\(2\cdot A=2^1+2^2+2^3+...+2^{2016}\)

\(A=2A-A=2^{2016}-2^0\)

\(A=2^{2016}-1\)