Những câu hỏi liên quan
VH
Xem chi tiết

\(\text{Cho:}x^2+y^2+z^2=1\text{.Chứng minh rằng:}\frac{x^3}{y+2z}+\frac{y^3}{z+2x}+\frac{z^3}{z+2y}\ge\frac{1}{3}\)

\(\text{Áp dụng BĐT Cosi cho 2 số dương, ta có:}\)

\(\frac{9x^3}{y+2z}+x\left(y+2z\right)\ge6x^2;\frac{9y^3}{z+2x}+y\left(z+2x\right)\ge6y^2;\frac{9z^3}{x+2y}+z\left(x+2y\right)\ge6z^3\)

\(\text{Lại có:}\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)

\(\text{Do đó:}\frac{9x^3}{y+2z}+\frac{9y^3}{z+2x}+\frac{9z^3}{x+2y}+3\left(xy+yz+zx\right)\ge6\left(x^2+y^2+x^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{9x^3}{y+2z}+\frac{9y^3}{z+2x}+\frac{9z^3}{x+2y}\ge6\left(x^2+y^2+z^2\right)-3\left(xy+yz+zx\right)\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^3}{y+2z}+\frac{y^3}{z+2x}+\frac{z^3}{x+2y}\ge\frac{x^2+y^2+z^2}{3}=\frac{1}{3}\)

\(\text{Dấu "=" xảy ra }\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa
VH
31 tháng 1 2022 lúc 23:09

cho minh hoi phan bat dang thuc cosi la ban dung cong thuc the nao ak

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa
HM
Xem chi tiết
H24
Xem chi tiết
NL
22 tháng 3 2021 lúc 5:04

\(VT=\dfrac{x^2}{x^2+2xy+3zx}+\dfrac{y^2}{y^2+2yz+3xy}+\dfrac{z^2}{z^2+2zx+3yz}\)

\(VT\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+5xy+5yz+5zx}=\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+3\left(xy+yz+zx\right)}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+\left(x+y+z\right)^2}=\dfrac{1}{2}\)

Bình luận (0)
NT
Xem chi tiết
GL
29 tháng 8 2019 lúc 17:38

x+y+z=0

=> x2+y2+z2=-2(xy+yz+xz)

=>(x2+y2+z2)2=[-2(xy+yz+xz)]2

<=> x4+y4+z4+2x2y2+2y2z2+2x2z2=4x2y2+4y2z2+4x2z2

=> x4+y4+z4=2(x2y2+y2z2+x2z2)

Bình luận (0)
MI
3 tháng 10 2019 lúc 20:11

hello bạn chơi minecraft ko

Bình luận (0)
TA
Xem chi tiết
TL
28 tháng 9 2016 lúc 17:22

mk không bít

Bình luận (0)
NP
28 tháng 9 2016 lúc 17:36

ai đây

Bình luận (0)
TA
Xem chi tiết
H24
Xem chi tiết
NL
27 tháng 7 2020 lúc 16:41

\(\left(x+1+\sqrt{\left(x+1\right)^2+1}\right)\left(y-1+\sqrt{\left(y-1\right)^2+1}\right)=0\) (1)

Nhân 2 vế với \(\sqrt{\left(x+1\right)^2+1}-\left(x+1\right)\) và rút gọn

\(\Rightarrow y-1+\sqrt{\left(y-1\right)^2+1}=\sqrt{\left(x+1\right)^2+1}-\left(x+1\right)\) (2)

Nhân 2 vế của (1) với \(\sqrt{\left(y-1\right)^2+1}-\left(y-1\right)\) và rút gọn

\(\Rightarrow x+1+\sqrt{\left(x+1\right)^2+1}=\sqrt{\left(y-1\right)^2+1}-\left(y-1\right)\) (3)

Cộng vế với vế (2) và (3) và rút gọn:

\(\Rightarrow y+x=-x-y\)

\(\Leftrightarrow2\left(x+y\right)=0\Rightarrow x+y=0\)

Bình luận (0)
NM
Xem chi tiết
NL
Xem chi tiết
AN
22 tháng 5 2017 lúc 11:19

\(\frac{x^2}{2y}+\frac{y^2}{2x}+\frac{y^2}{2z}+\frac{z^2}{2y}+\frac{z^2}{2x}+\frac{x^2}{2z}\ge\frac{\left(2x+2y+2z\right)^2}{4\left(x+y+z\right)}=x+y+z\)

Bình luận (0)