Question

Cho  x,y > 0 chứng minh (x+y)^2[(x+y)/2] ≥ 2x√y + 2y√x

Answer 1

Sửa đề: \(Cho\)\(x;y>0.\)\(CMR:\)\(\left(x+y\right)^2+\frac{x+y}{2}\ge2x\sqrt{y}+2y\sqrt{x}\)

Ta có: \(x+y\ge2\sqrt{xy}\)

\(\Rightarrow2\left(x+y\right)\ge x+2\sqrt{xy}+y\)

\(\Rightarrow x+y\ge\frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2}{4}\)                                                     \(\left(1\right)\)

Lại có: \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)                                                                 \(\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra 

\(VT\ge4xy+\frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2}{4}\ge2\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)=2x\sqrt{y}+2y\sqrt{x}\)               ( BĐT AM-GM)

Answer 2

Bạn ơi đề khôg sai nhá nếu là dấu cộng thì ai chả làm đc đây là dấu nhân nhá