Question

Cho các số thực x,y thỏa mãn \(\left(x+1+\sqrt{x^2+2x+2}\right)\left(y-1+\sqrt{y^2-2y+2}\right)\)=0 ,chứng minh rằng x+y=0

Answer 1

\(\left(x+1+\sqrt{\left(x+1\right)^2+1}\right)\left(y-1+\sqrt{\left(y-1\right)^2+1}\right)=0\) (1)

Nhân 2 vế với \(\sqrt{\left(x+1\right)^2+1}-\left(x+1\right)\) và rút gọn

\(\Rightarrow y-1+\sqrt{\left(y-1\right)^2+1}=\sqrt{\left(x+1\right)^2+1}-\left(x+1\right)\) (2)

Nhân 2 vế của (1) với \(\sqrt{\left(y-1\right)^2+1}-\left(y-1\right)\) và rút gọn

\(\Rightarrow x+1+\sqrt{\left(x+1\right)^2+1}=\sqrt{\left(y-1\right)^2+1}-\left(y-1\right)\) (3)

Cộng vế với vế (2) và (3) và rút gọn:

\(\Rightarrow y+x=-x-y\)

\(\Leftrightarrow2\left(x+y\right)=0\Rightarrow x+y=0\)