Không mất tính giả sử \(a\ge b\ge c\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{ab+1}\le\frac{b}{bc+1}+\frac{c}{bc+1}=\frac{b+c}{bc+1}\left(1\right)\)

Mà \(0\le b,c\le1\Rightarrow\left(1-b\right)\left(1-c\right)\ge0\Rightarrow bc+1\ge b+c\Rightarrow\frac{b+c}{bc+1}\le1\left(2\right)\)

Do\(0\le a,b,c\le1\Rightarrow a\le1\le1+bc\Rightarrow\frac{a}{bc+1}\le1\left(3\right)\)

Từ (1),(2),(3) rồi cộng lại ta thu được đpcm

8 hay 6???

Ta có :

\(a+b+c=0\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=0\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)=0\) (1)

Ta lại có :

\(\left(a-b\right)^2\ge0\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\)

Tương tự :

\(b^2+c^2\ge2bc\)

\(a^2+c^2\ge2ac\)

Do đó :

\(2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ac\right)\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\) (2)

Thay (2) vào (1) ta được:

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)=0\ge3\left(ab+bc+ac\right)\)

\(\Rightarrow ab+bc+ac\le0\)

\(\Rightarrow2\left(ab+bc+ac\right)\le0\) (3)

Ta có : \(a,b\ge-1\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+1\ge0\\b+1\ge0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)\ge0\)

\(\Rightarrow ab+a+b+1\ge0\)

Tương tự:

\(bc+c+b+1\ge0\)

\(ac+c+a+1\ge0\)

Do đó :

\(ab+a+b+1+bc+b+c+1+ac+a+c+1\ge0\)

\(\Rightarrow\left(ab+bc+ac\right)+2\left(a+b+c\right)+3\ge0\)

\(\Rightarrow\left(ab+bc+ac\right)+3\ge0\) (do \(a+b+c=0\) )

\(\Rightarrow ab+bc+ac\ge-3\)

\(\Rightarrow2\left(ab+bc+ac\right)\ge-6\) (4)

Từ (3) và (4) ta có:

\(0\ge2\left(ab+bc+ac\right)\ge-6\) (5)

Từ (1) và (5) suy ra :

\(0\le a^2+b^2+c^2\le6\)

\(\rightarrowđpcm\)

Không mất tính tổng quát, giả sử \(2\ge a\ge b\ge c\ge1\)

Khi đó dễ thấy dấu = sẽ đạt được tại biên, tức a=2, c=1 nên ta sẽ dồn các biến ra biên

Ta có: \(\left(\dfrac{a}{b}-1\right)\left(\dfrac{b}{c}-1\right)\ge0\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}\le\dfrac{a}{c}+1\)

\(\left(\dfrac{b}{a}-1\right)\left(\dfrac{c}{b}-1\right)\ge0\Leftrightarrow\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}\le\dfrac{c}{a}+1\)

Do đó \(VT\le2\left(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}\right)+2\) nên chỉ cần chứng minh \(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}\le\dfrac{5}{2}\)(*) hay \(\dfrac{\left(a-2c\right)\left(2a-c\right)}{2ac}\le0\) ( luôn đúng do \(c\le a\le2c\) )

Vậy ta có đpcm. Dấu = xảy ra khi a=2, c=1, b=1 hoặc a=2, c=1, b=2 và các hoán vị tương ứng.

\(-1\le a\le2\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+1\ge0\\a-2\le0\end{cases}\Rightarrow\left(a+1\right)\left(a-2\right)\le0}\)

Tương tự \(\left(b+1\right)\left(b-2\right)\le0,\left(c+1\right)\left(c-2\right)\le0\)

=> (a+1)(a-2)+(b+1)(b-2)+(c+1)(c-2)\(\le\)0 => a²+b²+c²-(a+b+c)-6\(\le\)0 

=>a²+b²+c² \(\le\)6 

Dấu "=" xảy ra <=> (a+1)(  a-2)=0, (b+1)(b-2)=0, (c+1)(c-2)=0 , a+b+c=0 <=> a=2, b=c=-1 và các hoán vị