Áp dụng bđt bunhia có:

\(\left(x^2+4y^2\right)\left(1+\dfrac{1}{4}\right)\ge\left(x+y\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{25}{4}\ge\left(x+y\right)^2\)\(\Leftrightarrow x+y\le\dfrac{5}{2}\)

Dấu = xảy ra\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4y\\x^2+4y^2=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}16y^2+4y^2=5\\x=4y\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{1}{2}\\x=2\end{matrix}\right.\)

a.

\(\Leftrightarrow x\left(y+1\right)^2=32y\Leftrightarrow x=\dfrac{32y}{\left(y+1\right)^2}\)

Do y và y+1 nguyên tố cùng nhau  \(\Rightarrow32⋮\left(y+1\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(y+1\right)^2=\left\{4;16\right\}\)

\(\Rightarrow...\)

b.

\(2a^2+a=3b^2+b\Leftrightarrow2\left(a-b\right)\left(a+b\right)+a-b=b^2\)

\(\Leftrightarrow\left(2a+2b+1\right)\left(a-b\right)=b^2\)

Gọi \(d=ƯC\left(2a+2b+1;a-b\right)\)

\(\Rightarrow b^2\) chia hết \(d^2\Rightarrow b⋮d\) (1)

Lại có:

\(\left(2a+2b+1\right)-2\left(a-b\right)⋮d\)

\(\Rightarrow4b+1⋮d\) (2)

 (1);(2) \(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrow2a+2b+1\) và \(a-b\) nguyên tố cùng nhau

Mà tích của chúng là 1 SCP nên cả 2 số đều phải là SCP (đpcm)

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta được: \(2xy-4=x+y\ge2\sqrt{xy}\)

Đặt \(\sqrt{xy}=t\)thì ta có: \(2t^2-2t-4\ge0\Leftrightarrow2\left(t-2\right)\left(t+1\right)\ge0\Rightarrow t\ge2\)

\(\Rightarrow xy\ge4\)

\(P=xy+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\ge xy+\frac{2}{xy}=\left(\frac{2}{xy}+\frac{xy}{8}\right)+\frac{7xy}{8}\ge2\sqrt{\frac{2}{xy}.\frac{xy}{8}}+\frac{7.4}{8}=\frac{9}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi x = y = 2

Bạn xem lại đề bài, mặc dù bài này giải được ra kết quả cụ thể, nhưng chắc không ai cho đề như vậy cả

Sau khi tính toán thì \(P_{min}=4+2\sqrt{3}\) 

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{3-\sqrt{6\sqrt{3}-9}}{6};\dfrac{3+\sqrt{6\sqrt{3}-9}}{6}\right)\) và hoán vị

Nhìn thật kinh khủng, chẳng có lý gì cả.

Nếu điều kiện \(x+y=1\) thì biểu thức \(P=\dfrac{a}{x^3+y^3}+\dfrac{b}{xy}\) cần có tỉ lệ \(\dfrac{b}{a}\ge3\) để ra 1 kết quả đẹp mắt và bình thường

Ví dụ có thể cho đề là \(P=\dfrac{1}{3\left(x^3+y^3\right)}+\dfrac{1}{xy}\) hoặc \(P=\dfrac{1}{x^3+y^3}+\dfrac{4}{xy}\) gì đó :)

Giả sử trong hai số x,y không có số nào chia hết cho 3 thì

\(x^2,y^2\) chia cho 3 dư 1 ( do số chính phương chia cho 3 chỉ dư 0 hoặc 1)

\(\Rightarrow x^2+y^2\equiv2\left(mod3\right)\) \(\Rightarrow z^2\equiv2\left(mod3\right)\) => vô lí

vậy trong hai số x,y phải có 1 số chia hết cho 3

tương tự ta cũng chứng minh được trong 2 số x,y có 1 số chia hết cho 4 ( sử dụng tính chất số chính phương chia cho 4 chỉ dư 0 hoặc 1)

mà \(\left(3,4\right)=1\) \(\Rightarrow xy⋮12\)

Chứng minh xyz chia hết cho 12 chứ nhỉ

Nè:

SCP chia 3 dư 0;1

Nếu cả 3 số không có số nào chia hết cho 3 thì vô lý (loại)

Vầy tồn tại 1 số chia hết cho 3

Nếu đó là x; y(cứ kệ nó)

Nếu đó là z

suy ra z^2 chia hết cho 3

suy ra z chia hết cho 3

suy ra x^2+y^2 chia hết cho 3 mà SCP chia 3 dư 0;1

suy ra x^2 chia hết cho 3;y^2 chia hết cho 3

Vậy trong mọi trường hợp thì 1 trong 2 số x;y luôn chia hết cho 3

Chứng minh tương tự với 4

suy ra xy chia hết cho cả 3;

mà UCLN (4;3)=1

Suy ra xy chia hết cho 12

\(x+y+xy+1=16\Rightarrow\left(x+1\right).\left(y+1\right)=16.\)

Với mọi a,b lớn hơn 0 ta luôn có : \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\Rightarrow\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\ge ab\)

Áp dụng với a = x +1  , b = y +1 Ta có : \(\frac{\left(x+y+2\right)^2}{4}\ge\left(x+1\right).\left(y+1\right)=16\) 

                                                             => \(\left(x+y+2\right)^2\ge64\)

                                                             => \(x+y+2\ge\sqrt{64}=8\Rightarrow x+y\ge6\)( do x, y > 0)

Ta có : \(\left(x+y+2\right)^2\ge64\Rightarrow x^2+y^2+4+2xy+4x+4y\ge64\)

=> \(P\ge64-4-2\left(x+y+xy\right)+2\left(x+y\right)\ge18\)

Vậy Pmin = 18 khi x = y = 3 .

đoạn cuối mình đánh nhầm dấu " - " thành dấu " + "

\(P\ge64-4-2\left(x+y+xy\right)-2\left(x+y\right)=18..\)