Phân thức đại số

Bài 1:

a: Thay x=-1 và y=-1 vào (d1), ta được:

\(-\left(m+1\right)+2=-1\)

=>-m-1+2=-1

=>-m+1=-1

=>-m=-2

=>m=2

b: Tọa độ điểm B là:

\(\left\{{}\begin{matrix}-2x+1=x+2\\y=x+2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}-3x=1\\y=x+2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{1}{3}\\y=-\dfrac{1}{3}+2=\dfrac{5}{3}\end{matrix}\right.\)

 vậy: \(B\left(-\dfrac{1}{3};\dfrac{5}{3}\right)\)

c: Thay x=-1/3 và y=5/3 vào (d1), ta được:

\(-\dfrac{1}{3}\left(m+1\right)+2=\dfrac{5}{3}\)

=>\(-\dfrac{1}{3}\left(m+1\right)=-\dfrac{1}{3}\)

=>m+1=1

=>m=0

d: Vì \(\left\{{}\begin{matrix}-2=-2\\1\ne2\end{matrix}\right.\)

nên (d2)//(d4)

Vì \(1\ne-2\)

nên (d3) cắt (d4)

Bài 2:

a: Xét ΔAEI có

K là trung điểm của AI

KM//EI

Do đó: M là trung điểm của AE

=>AM=ME

Xét hình thang BMKH có

I là trung điểm của KH

IE//MK//BH

Do đó:E là trung điểm của MB

=>ME=EB

=>AM=ME=EB

b: Xét ΔABC có MN//BC

nên \(\dfrac{MN}{BC}=\dfrac{AM}{AB}\)

=>\(\dfrac{MN}{30}=\dfrac{1}{3}\)

=>MN=30/3=10(cm)

Xét ΔABC có EF//BC

nên \(\dfrac{EF}{BC}=\dfrac{AE}{AB}\)

=>\(\dfrac{EF}{30}=\dfrac{2}{3}\)

=>\(EF=30\cdot\dfrac{2}{3}=20\left(cm\right)\)

c: Xét ΔABC có MN//BC

nên ΔAMN~ΔABC theo hệ số tỉ lệ là \(k=\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{1}{3}\)

=>\(\dfrac{S_{AMN}}{S_{ABC}}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^2=\dfrac{1}{9}\)

=>\(S_{AMN}=\dfrac{1}{9}\cdot S_{ABC}\)

Ta có: \(S_{AMN}+S_{BMNC}=S_{ABC}\)

=>\(S_{BMNC}=\dfrac{8}{9}\cdot S_{ABC}\)

=>\(S_{ABC}=200:\dfrac{8}{9}=225\left(cm^2\right)\)

d: Xét ΔAMN và ΔABC có 

\(\widehat{AMN}=\widehat{ABC}\)(hai góc đồng vị, MN//BC)

\(\widehat{MAN}\) chung

Do đó: ΔAMN~ΔABC

=>\(k=\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{1}{3}\)

Xét ΔAEF và ΔABC có

\(\widehat{AEF}=\widehat{ABC}\)(hai góc đồng vị, EF//BC)

\(\widehat{FAE}\) chung

Do đó: ΔAEF~ΔABC

=>\(k=\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{2}{3}\)

làm hết hả bạn ?

Bài 1:

a: 

b: Phương trình hoành độ giao điểm là:

-2x=x+1

=>-2x-x=1

=>-3x=1

=>x\(=-\dfrac{1}{3}\)

Thay \(x=-\dfrac{1}{3}\) vào y=-2x, ta được:

\(y=-2\cdot\dfrac{-1}{3}=\dfrac{2}{3}\)

vậy: \(D\left(-\dfrac{1}{3};\dfrac{2}{3}\right)\)

Bài 2:

Thay x=1 và y=5 vào y=(m-1)x+3, ta được:

1(m-1)+3=5

=>m+2=5

=>m=3

=>Hệ số góc của hàm số y=(m-1)x+3 là m-1=3-1=2

3: Xét ΔBAC có KI//AC

nên \(\dfrac{KI}{AC}=\dfrac{BK}{BA}\)

=>\(\dfrac{BK}{36}=\dfrac{1.6}{24}=\dfrac{1}{15}\)

=>\(BK=\dfrac{36}{15}=2,4\left(m\right)\)

Ta có: BK+KA=BA

=>KA=36-2,4=33,6(m)

=>Người đó cần đứng cách tối đa là 33,6m để vẫn đứng trong bóng râm của tòa nhà

a: Thay x=1 và y=2 vào y=ax+1, ta được:

\(a\cdot1+1=2\)

=>a+1=2

=>a=1

b: Thay x=-1/3 và y=0 vào y=ax+1, ta được:

\(-\dfrac{1}{3}a+1=0\)

=>\(-\dfrac{1}{3}a=-1\)

=>a=3

c: Thay x=-4/3 vào \(y=\dfrac{1}{2}x-1\), ta được:

\(y=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{-4}{3}-1=-\dfrac{2}{3}-1=-\dfrac{5}{3}\)

Thay \(x=-\dfrac{4}{3};y=-\dfrac{5}{3}\) vào y=ax+1, ta được:

\(a\cdot\dfrac{-4}{3}+1=-\dfrac{5}{3}\)

=>\(a\cdot\dfrac{-4}{3}=-\dfrac{8}{3}\)

=>a=2

d: Thay y=2 vào (d2), ta được:

\(\dfrac{1}{2}x-1=2\)

=>\(\dfrac{1}{2}x=3\)

=>x=6

Thay x=6 và y=2 vào (d1), ta được:

\(a\cdot6+1=2\)

=>6a=1

=>\(a=\dfrac{1}{6}\)

Bài 3:

a: Gọi hàm số cần tìm có dạng là y=ax+b(a<>0)

Vì hệ số góc là -1 nên a=-1

=>y=-x+b

Thay x=0 và y=1 vào y=-x+b, ta được:

b-0=1

=>b=1

=>y=-x+1

b: Gọi hàm số cần tìm có dạng là y=ax+b(a<>0)

Hệ số góc của y=2x-1 nên a=2

=>y=2x+b

Thay x=1 và y=3 vào y=2x+b, ta được:

\(2\cdot1+b=3\)

=>b+2=3

=>b=1

=>y=2x+1

c: Đặt (d1): y=-x+1; (d2): y=2x+1

Bảng giá trị:

Vẽ đồ thị:

d: Tọa độ A là:

\(\left\{{}\begin{matrix}y=0\\-x+1=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=0\\-x=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=0\\x=1\end{matrix}\right.\)

Vậy: A(1;0)

Tọa độ B là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=-x+1=-0+1=1\end{matrix}\right.\)

Vậy: B(0;1)

Vì Ox\(\perp\)Oy

nên OA\(\perp\)OB

=>ΔOAB vuông tại O

O(0;0); A(1;0); B(0;1)

\(OA=\sqrt{\left(1-0\right)^2+\left(0-0\right)^2}=1\)

\(OB=\sqrt{\left(0-0\right)^2+\left(1-0\right)^2}=1\)

\(AB=\sqrt{\left(0-1\right)^2+\left(1-0\right)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}\)

Chu vi tam giác OAB là:

\(1+1+\sqrt{2}=2+\sqrt{2}\)

Ta có: ΔOAB vuông tại O

=>\(S_{OAB}=\dfrac{1}{2}\cdot OA\cdot OB=\dfrac{1}{2}\)

Bài 2:

y=(m-2)x+m-3

=mx-2x+m-3

=m(x+1)-2x-3

Tọa độ điểm cố định mà đường thẳng y=(m-2)x+m-3 luôn đi qua là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x+1=0\\y=-2x-3\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=-1\\y=-2\cdot\left(-1\right)-3=2-3=-1\end{matrix}\right.\)

=>A(-1;-1) là điểm cố định mà đường thẳng y=(m-2)x+m-3 luôn đi qua

Câu 2:

a: Xét ΔABC có AD là phân giác

nên \(\dfrac{DB}{AB}=\dfrac{DC}{AC}\)

=>\(\dfrac{DB}{15}=\dfrac{DC}{20}\)

=>\(\dfrac{DB}{3}=\dfrac{DC}{4}\)

mà DB+DC=BC=25cm

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{DB}{3}=\dfrac{DC}{4}=\dfrac{DB+DC}{3+4}=\dfrac{25}{7}\)

=>\(DB=\dfrac{25}{7}\cdot3=\dfrac{75}{7}\left(cm\right);DC=\dfrac{25}{7}\cdot4=\dfrac{100}{7}\left(cm\right)\)

Xét ΔCAB có ED//AB

nên \(\dfrac{ED}{AB}=\dfrac{CD}{CB}\)

=>\(\dfrac{ED}{15}=\dfrac{4}{7}\)

=>\(ED=\dfrac{4}{7}\cdot15=\dfrac{60}{7}\left(cm\right)\)

b: Xét ΔABC có \(AB^2+AC^2=BC^2\)

nên ΔABC vuông tại A

=>\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot AC=\dfrac{1}{2}\cdot15\cdot20=10\cdot15=150\left(cm^2\right)\)

Xét ΔABC có AH là đường cao

nên \(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot AH\cdot BC\)

=>\(AH\cdot25=2\cdot150=300\)

=>\(AH=\dfrac{300}{25}=12\left(cm\right)\)

c: Ta có: \(\dfrac{BD}{BC}=\dfrac{75}{7}:25=\dfrac{3}{7}\)

=>\(S_{ABD}=\dfrac{3}{7}\cdot S_{ABC}=\dfrac{3}{7}\cdot150=\dfrac{450}{7}\left(cm^2\right)\)

=>\(S_{ACD}=S_{ABC}-S_{ABD}=150-\dfrac{450}{7}=\dfrac{600}{7}\left(cm^2\right)\)

Xét ΔCAB có ED//AB

nên \(\dfrac{CE}{CA}=\dfrac{ED}{AB}=\dfrac{CD}{CB}=\dfrac{4}{7}\)

=>\(S_{CED}=\dfrac{4}{7}\cdot S_{CAD}=\dfrac{4}{7}\cdot\dfrac{600}{7}=\dfrac{2400}{49}\left(cm^2\right)\)

Ta có: \(S_{CDE}+S_{AED}=S_{CAD}\)

=>\(S_{AED}=\dfrac{3}{7}\cdot S_{CAD}=\dfrac{3}{7}\cdot\dfrac{600}{7}=\dfrac{1800}{49}\left(cm^2\right)\)

Bài 1:

a: 

b: Để (d1)//(d2) thì \(\left\{{}\begin{matrix}m-2=2\\m\ne1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}m=4\\m\ne1\end{matrix}\right.\)

=>m=4

c: Thay x=2 và y=-3 vào (d1), ta được:

\(2\left(m-2\right)+m=-3\)

=>2m-4+m=-3

=>3m=-3+4=1

=>\(m=\dfrac{1}{3}\)

d: Để (d1) cắt (d2) tại một điểm trên trục tung thì

\(\left\{{}\begin{matrix}m-2\ne2\\m=1\end{matrix}\right.\)

=>m=1

e: ĐKXĐ: \(a\notin\left\{-1;1\right\}\)

\(\dfrac{a}{a+1}-\dfrac{a}{a-1}-\dfrac{2a^2}{1-a^2}\)

\(=\dfrac{a}{a+1}-\dfrac{a}{a-1}+\dfrac{2a^2}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}\)

\(=\dfrac{a\left(a-1\right)-a\left(a+1\right)+2a^2}{\left(a+1\right)\left(a-1\right)}\)

\(=\dfrac{a^2-a-a^2-a+2a^2}{\left(a+1\right)\left(a-1\right)}=-\dfrac{2a}{a^2-1}\)

g: ĐKXĐ: \(x\notin\left\{2;-2\right\}\)

\(\dfrac{4}{x+2}+\dfrac{2}{x-2}+\dfrac{5x-6}{4-x^2}\)

\(=\dfrac{4}{x+2}+\dfrac{2}{x-2}-\dfrac{5x-6}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\)

\(=\dfrac{4\left(x-2\right)+2\left(x+2\right)-5x+6}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\)

\(=\dfrac{4x-8+2x+4-5x+6}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\dfrac{x+2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\dfrac{1}{x-2}\)

h: ĐKXĐ: x<>1

\(\dfrac{x^2+2}{x^3-1}+\dfrac{2}{x^2+x+1}-\dfrac{1}{x-1}\)

\(=\dfrac{x^2+2}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}+\dfrac{2}{x^2+x+1}-\dfrac{1}{x-1}\)

\(=\dfrac{x^2+2+2\left(x-1\right)-x^2-x-1}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}\)

\(=\dfrac{-x+1+2x-2}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}=\dfrac{1}{x^2+x+1}\)

\(\dfrac{5xy^2-2z}{3xy}+\dfrac{5y^2x+2z}{3xy}=\dfrac{5xy^2-2z+5y^2x+2z}{3xy}\)

\(=\dfrac{5x^2y+5y^2x}{3xy}=\dfrac{5xy\left(x+y\right)}{3xy}=\dfrac{5\left(x+y\right)}{3}\)

d.

\(\dfrac{5}{6x^2y}+\dfrac{7}{12xy^2}+\dfrac{11}{18xy}=\dfrac{30y}{36x^2y^2}+\dfrac{21x}{36x^2y^2}+\dfrac{22xy}{36x^2y^2}\)

\(=\dfrac{22xy+21x+30y}{36x^2y^2}\)

\(\dfrac{y-1}{12y}+\dfrac{2y+7}{12y}+\dfrac{6-3y}{12y}=\dfrac{y-1+2y+7+6-3y}{12y}=\dfrac{12}{12y}=\dfrac{1}{y}\)

\(\dfrac{3x+8}{x+7}-\dfrac{x-6}{x+7}=\dfrac{3x+8-\left(x-6\right)}{x+7}=\dfrac{3x+8-x+6}{x+7}=\dfrac{2x+14}{x+7}=\dfrac{2\left(x+7\right)}{x+7}=2\)

Bài 1:

a: Để (d1) là hàm số bậc nhất thì \(m-1\ne0\)

=>\(m\ne1\)

Để (d2) là hàm số bậc hai thì \(m+2\ne0\)

=>\(m\ne-2\)

b: Để (d1)//(d2) thì \(\left\{{}\begin{matrix}m-1=m+2\\2\ne3\left(đúng\right)\end{matrix}\right.\)

=>m-1=m+2

=>-1=2(sai)

=>\(m\in\varnothing\)

Để (d1) cắt (d2) thì \(m-1\ne m+2\)

=>\(-3\ne0\)(đúng)

=>\(m\in R\)

c: Thay x=1 và y=3 vào (d1), ta được:

\(1\left(m-1\right)+2=3\)

=>m-1+2=3

=>m+1=3

=>m=2

Hệ số góc của (d1) là 2-1=1

d: Để (d2)//(d3) thì \(\left\{{}\begin{matrix}m+2=1\\3\ne-1\left(đúng\right)\end{matrix}\right.\)

=>m+2=1

=>m=-1

Hệ số góc của (d2) là m+2=-1+2=1

Bài 2:

a: Xét ΔAED và ΔABC có

\(\widehat{AED}=\widehat{ABC}\)(hai góc so le trong, ED//BC)

\(\widehat{EAD}=\widehat{BAC}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó; ΔAED~ΔABC

=>\(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{ED}{BC}\)

=>\(\dfrac{3}{5}=\dfrac{DE}{8}\)

=>\(DE=3\cdot\dfrac{8}{5}=3\cdot1,6=4,8\)

b: Xét ΔAEI và ΔABK có

\(\widehat{AEI}=\widehat{ABK}\)(hai góc so le trong, EI//BK)

\(\widehat{EAI}=\widehat{BAK}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔAEI đồng dạng với ΔABK

=>\(\dfrac{EI}{BK}=\dfrac{AE}{AB}\)

mà \(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AD}{AC}\)

nên \(\dfrac{EI}{BK}=\dfrac{AD}{AC}\)

c: Xét ΔAID và ΔAKC có

\(\widehat{AID}=\widehat{AKC}\)(hai góc so le trong, ID//KC)

\(\widehat{IAD}=\widehat{KAC}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔAID~ΔAKC

=>\(\dfrac{ID}{KC}=\dfrac{AD}{AC}\)

=>\(\dfrac{ID}{KC}=\dfrac{EI}{BK}\)

=>\(\dfrac{IE}{ID}=\dfrac{BK}{KC}\)