Phân thức đại số

Bài 1:

a: Xét ΔBAC có

M,N lần lượt là trung điểm của BA,BC

=>MN là đường trung bình của ΔBAC

=>MN//AC và \(MN=\dfrac{AC}{2}\)

Ta có: \(MN=\dfrac{AC}{2}\)

=>\(AC=2\cdot MN\)

=>\(2x+3=2\cdot7=14\)

=>2x=11

=>x=5,5(cm)

b: Xét ΔABD có

M,H lần lượt là trung điểm của AB,AD

=>MH là đường trung bình của ΔABD

=>MH=BD/2 và MH//BD

MH=BD/2

=>BD=2MH

=>\(10=2\left(5x-5\right)\)

=>\(5x-5=5\)

=>5x=10

=>x=2(cm)

c: Xét ΔDAC có

H,I lần lượt là trung điểm của DA,DC

=>HI là đường trung bình của ΔDAC

=>HI//AC và \(HI=\dfrac{AC}{2}\)

Ta có: MN//AC

HI//AC

Do đó: MN//HI

Ta có: \(MN=\dfrac{AC}{2}\)

\(HI=\dfrac{AC}{2}\)

Do đó: MN=HI

Xét tứ giác MNIH có

MN//IH

MN=IH

Do đó: MNIH là hình bình hành

d: Để MNIH là hình chữ nhật thì MN\(\perp\)MH

ta có: MN\(\perp\)MH

MN//AC

Do đó: MH\(\perp\)AC

Ta có: MH\(\perp\)AC

MH//BD

Do đó: BD\(\perp\)AC

Bài 2:

a: Ta có: \(\widehat{AKC}=\widehat{BAI}\)(hai góc đồng vị, AI//CK)

\(\widehat{ACK}=\widehat{CAI}\)(hai góc so le trong, AI//CK)

mà \(\widehat{BAI}=\widehat{CAI}\)

nên \(\widehat{AKC}=\widehat{ACK}\)

=>ΔAKC cân tại A

b: Xét ΔABC có AI là phân giác

nên \(\dfrac{IC}{IB}=\dfrac{AC}{AB}\)

mà AC=AK

nên \(\dfrac{IC}{IB}=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{AK}{AB}\)

c: Ta có: \(\dfrac{IC}{IB}=\dfrac{AC}{AB}\)

=>\(\dfrac{IC}{IB}=\dfrac{12}{16}=\dfrac{3}{4}\)

=>\(\dfrac{IC}{3}=\dfrac{IB}{4}\)

mà IC+IB=BC=21

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{IC}{3}=\dfrac{IB}{4}=\dfrac{IC+IB}{3+4}=\dfrac{21}{7}=3\)

=>\(IC=3\cdot3=9\left(cm\right);IB=4\cdot3=12\left(cm\right)\)

Bài 1:

a: (d1): y=3x

Vì a=3>0

nên góc tạo bởi (d1) với trục Ox là góc nhọn

(d2): y=-x+1

Vì a=-1<0

nên góc tạo bởi (d2) với trục Ox là góc tù

(d3): y=2x-1

Vì a=2>0

nên góc tạo bởi (d3) với trục Ox là góc nhọn

(d4): y=3x+2

Vì a=3>0

nên góc tạo bởi (d4) với trục Ox là góc nhọn

(d5): y=-x-1

Vì a=-1<0

nên góc tạo bởi (d5) với trục Ox là góc tù

b: (d1): y=3x

=>a=3

=>\(tan\alpha_1=3\)

(d2): y=-x+1

=>a=-1

=>\(tan\alpha_2=-1\)

(d3): y=2x-1

=>a=2

=>\(tan\alpha_3=2\)

(d4): y=3x+2

=>a=3

=>\(tan\alpha_4=3\)

(d5): y=-x-1

=>a=-1

=>\(tan\alpha_5=-1\)

Vì \(0< tan\alpha_3< tan\alpha_1=tan\alpha_4\)

nên \(0< \alpha_3< \alpha_1=\alpha_4< 90^0\)

Vì \(0>tan\alpha_2=tan\alpha_5\)

nên \(90^0< \alpha_2=\alpha_5< 180^0\)

=>\(\alpha_3< \alpha_1=\alpha_4< \alpha_2=\alpha_5\)

c: Vì \(\alpha_1=\alpha_4\)

nên (d1)//(d4)

Vì \(\alpha_2=\alpha_5\)

nên (d2)//(d5)

d:

Vì \(3\ne-1\)

nên (d1) sẽ cắt (d2) và (d1) sẽ cắt (d5)

Vì \(3\ne2\)

nên (d1) sẽ cắt (d3)

e:

Để hai đường thẳng \(y=a_1x+b_1;y=a_2x+b_2\) cắt nhau tại một điểm trên trục tung thì

\(\left\{{}\begin{matrix}a_1\ne a_2\\b_1=b_2\end{matrix}\right.\)

Vì \(\left\{{}\begin{matrix}2\ne-1\\-1=-1\end{matrix}\right.\)

nên (d3) sẽ cắt (d5) tại một điểm trên trục tung

Câu 3:

a: Xét ΔABC có

M,N lần lượt là trung điểm của AB,AC

=>MN là đường trung bình của ΔABC

=>MN//BC và \(MN=\dfrac{BC}{2}\)

Ta có: MN//BC

I\(\in\)BC

Do đó: MN//BI

Ta có: \(MN=\dfrac{BC}{2}\)

\(BI=CI=\dfrac{BC}{2}\)

Do đó: MN=BI=CI

Xét tứ giác MNIB có

MN//IB

MN=IB

Do đó: MNIB là hình bình hành

b: Ta có: MNIB là hình bình hành

=>IN=MB

mà MB=AM

nên IN=AM

Xét ΔAMN và ΔNIC có

AM=NI

\(\widehat{AMN}=\widehat{NIC}\left(=\widehat{B}\right)\)

MN=IC

Do đó: ΔAMN=ΔNIC

Bài 1:

a: Xét ΔABC có MN//BC

nên \(\dfrac{AM}{MB}=\dfrac{AN}{NC}\)

=>\(\dfrac{AM}{1,5}=\dfrac{4}{2}=2\)

=>AM=2*1,5=3

b: Xét ΔABC có MN//BC

nên \(\dfrac{AM}{MB}=\dfrac{AN}{NC}\)

=>\(\dfrac{AM}{3,2}=\dfrac{8}{4}=2\)

=>AM=2*3,2=6,4

AM+MB=AB

=>AB=3,2+6,4=9,6

c: AM+MB=AB

=>AB=7+3,5=10,5

Xét ΔABC có MN//BC

nên \(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{MN}{BC}\)

=>\(\dfrac{MN}{12}=\dfrac{7}{10,5}=\dfrac{2}{3}\)

=>MN=12*2/3=8

Lời giải:

** Sửa lại hàm số: $y=-x+3$

a. Bạn có thể tự vẽ.

b. Để $y=(2k-1)x+1$ song song với (d)$ thì:

$2k-1=-1$

$\Leftrightarrow k=0$

c. PT hoành độ giao điểm của $(d)$ và $y=(k-3)x+5$:

$-x+3=(k-3)x+5$

$\Leftrightarrow (k-2)x=-2$

$\Leftrightarrow x=\frac{-2}{k-2}$ (đk: $k\neq 2$)

Khi đó: $y=-x+3=\frac{2}{k-2}+3$

Hai đths cắt nhau tại điểm có tung độ $7$

$\Leftrightarrow \frac{2}{k-2}+3=7$

$\Leftrightarrow \frac{2}{k-2}=4$

$\Leftrightarrow k-2=\frac{1}{2}\Leftrightarrow k=2,5$

a: Sửa đề: y=-x+3

Vẽ đồ thị

b: Để đường thẳng y=(2k-1)x+1 song song với (d) thì 

\(\left\{{}\begin{matrix}2k-1=-1\\1\ne3\left(đúng\right)\end{matrix}\right.\)

=>2k-1=-1

=>2k=0

=>k=0

c: Thay y=7 vào y=-x+3, ta được:

-x+3=7

=>-x=4

=>x=-2

Thay x=-2 và y=7 vào y=(k-3)x+5, ta được:

-2(k-3)+5=7

=>-2(k-3)=2

=>k-3=-1

=>k=2

Bài 2:

a: Để hàm số \(y=\left(m^2-1\right)x+m\) là hàm số bậc nhất thì \(m^2-1\ne0\)

=>\(m^2\ne1\)

=>\(m\notin\left\{1;-1\right\}\)

b:

Đặt (d): \(y=\left(m^2-1\right)x+m\)

Thay m=-2 vào (d), ta được:

\(y=\left[\left(-2\right)^2-1\right]x-2=3x-2\)

c: Thay m=2 vào (d), ta được:

\(y=\left(2^2-1\right)x+2=3x+2\)

Thay x=1 vào y=3x+2, ta được:

\(y=3\cdot1+2=5=y_A\)

=>A(1;5) thuộc (d)

Thay x=-1 vào y=3x+2, ta được:

\(y=3\cdot\left(-1\right)+2=-3+2=-1\ne y_B\)

vậy: B(-1;1) không thuộc (d)

Thay x=2 vào y=3x+2, ta được:

\(y=3\cdot2+2=8=y_C\)

vậy: C(2;8) thuộc (d)

Thay x=-2 vào y=3x+2, ta được:

\(y=3\cdot\left(-2\right)+2=-6+2=-4\ne y_D\)

vậy: D(-2;4) không thuộc (d)

bài 3:

a: Sau x ngày thì số tiền bạn An để dành được là 10000x(đồng)

=>y=10000x+200000

b: Đặt y=1000000

=>10000x+200000=1000000

=>10000x=800000

=>x=80

Vậy: An cần tiết kiệm trong 80 ngày

Bài 2

a) x³ - 49x

= x(x² - 49)

= x(x - 7)(x + 7)

b) x² - y² + 6x + 9

= (x² + 6x + 9) - y²

= (x - 3)² - y²

= (x - 3 - y)(x - 3 + y)

= (x - y - 3)(x + y - 3)

c) x² - 6x + 5

= x² - x - 5x + 5

= (x² - x) - (5x - 5)

= x(x - 1) - 5(x - 1)

= (x - 1)(x - 5)

Bài 6

a) ∆ABC vuông tại A

⇒ BC² = AB² + AC² (Pytago)

⇒ AC² = BC² - AB²

= 6,5² - 2,5²

= 36

⇒ AC = 6 (m)

Vậy bức tường cao 6 m

b) A = 2x² - 4x + 5

= 2x² - 4x + 2 + 3

= (2x² - 4x + 2) + 3

= 2(x² - 2x + 1) + 3

= 2(x - 1)² + 3

Do (x - 1)² ≥ 0 với mọi x ∈ R

⇒ 2(x - 1)² ≥ 0 với mọi x ∈ R

⇒ 2(x - 1)² + 3 ≥ 3 với mọi x ∈ R

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 3 khi x = 1

Bài 5

2 dm = 20 cm

Diện tích xung quanh hình chóp tứ giác đều:

S = 4 . 20 . 7 : 2 = 280 (cm²)

a) (5 - x)(x + 5) + (x - 2)(x + 4)

= 25 - x² + x² + 4x - 2x - 8

= (-x² + x²) + (4x - 2x) + (25 - 8)

= 2x + 17

Bài 5:

Chu vi đáy là \(2\cdot4=8\left(dm\right)=80\left(cm\right)\)

Diện tích xung quanh là:

\(S_{xq}=\dfrac{1}{2}\cdot80\cdot7=7\cdot40=280\left(cm^2\right)\)

Bài 6:

a: Theo hình vẽ, ta có: AB=2,5m; BC=6,5m; AB\(\perp\)AC tại A

Ta có: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AC^2=6,5^2-2,5^2=16\)

=>\(AC=\sqrt{16}=4\left(m\right)\)

b: \(A=2x^2-4x+5\)

\(=2x^2-4x+2+3\)

\(=2\left(x^2-2x+1\right)+3\)

\(=2\left(x-1\right)^2+3>=3\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi x-1=0

=>x=1