[MATH CHALLENGE - DAY 1 - 12/3/2025] 

1] CẤP ĐỘ THPT:

Tìm số hạng tổng quát của dãy số được xác định bởi:

\(\left\{{}\begin{matrix}u_1=1\\u_n=\dfrac{2\left(n+1\right)u_{n+1}}{n}+\dfrac{2-n}{\left(n^2+n+1\right)^2+1},n\ge1\end{matrix}\right.\)

Mức điểm thưởng: +10 điểm 

2] CẤP ĐỘ THCS: 

Giải phương trình sau:

\(\dfrac{1+x}{\sqrt{17-4x}}+\dfrac{1-x}{\sqrt{17+4x}}=\dfrac{4}{5}\)

Mức điểm thưởng: +5 điểm 

[CHALLENGE KẾT THÚC] 

ĐÁP ÁN: 

1] Ta có:

\(u_n=\dfrac{2\left(n+1\right)u_{n+1}}{n}+\dfrac{2-n}{\left(n^2+n+1\right)^2+1}\\ \Rightarrow\left(n+1\right)u_{n+1}=\dfrac{1}{2}nu_n-\dfrac{2n-n^2}{\left(n^2+2n+2\right)\left(n^2+1\right)}\\ \Rightarrow\left(n+1\right)u_{n+1}=\dfrac{1}{2}nu_n+\dfrac{2\left(n^2+1\right)-\left(n^2+2n+2\right)}{\left(n^2+2n+2\right)\left(n^2+1\right)}\\\Rightarrow\left(n+1\right)u_{n+1}-\dfrac{2}{n^2+2n+2}=\dfrac{1}{2}\left(nu_n-\dfrac{2}{n^2+1}\right)=\dfrac{1}{2}\left(nu_n-\dfrac{2}{\left(n-1\right)^2+2\left(n-1\right)+2}\right)\)

Đặt: \(x_n=nu_n-\dfrac{2}{n^2+1}\left(\Rightarrow x_1=0\right)\)

\(\Rightarrow x_{n+1}=\dfrac{1}{2}x_n\Rightarrow x_n=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\cdot x_1=0\\ \Rightarrow nu_n-\dfrac{2}{n^2+1}=0\\ \Rightarrow u_n=\dfrac{2}{n^3+n}\)

Vậy: ... 

2] \(-\dfrac{17}{4}\le x \le\dfrac{17}{4}\)

Đặt: \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{17-4x}=a\\\sqrt{17+4x}=b\end{matrix}\right.,a,b\ge0\)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2=34\\\dfrac{-13+a}{4a}+\dfrac{-13+b}{4b}=\dfrac{4}{5}\end{matrix}\right.\)

Giải hệ phương trình ta được a,b từ đó giải được x và so với điều kiện (phần còn lại các bạn có thể tự giải) 

Kết thúc bài toán 

Bài 1. Cho xAy = 75° và diễm M nằm trong góc đó. Vẽ điểm N sao cho Ar là dường trung trực của MN, về điểm P sao cho Ay là đường trung trực của MP. Tính góc NAP.

 Bài 2. Cho tam giác XYZ cân tại X. Tia trung trực của XZ cất XY tại điểm A. Biết ZA là phân giác của góc XZY. Tính các góc của tam giác XYZ.

Ví dụ 3. Cho tam giác DEF cân tại D. Tia phân giác của góc DFE cắt cạnh DE tại điểm M sao cho MD = MF. Tính các góc của tam giác DEF.

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O). Các đường cao AD;BE;CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của cạnh BC.

a)  Chứng minh bốn điểm B,C,E,F cùng thuộc một đường tròn;

b)  Kẻ đường kính AN của (O). Chứng minh BHCN là hình bình hành và OM = 12AH.

c) Gọi K là giao điểm các đường phân giác của góc ABH và góc ACH. Chứng minh MK đi qua trung điểm I của đoạn AH.