Bài 6: Tam giác cân

Vì \(\Delta\)ABC cân tại A \(\rightarrow AB=AC;\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)

Xét \(\Delta AHB\) và \(\Delta AKC\) có:

\(\widehat{A}\) chung

AH=AK (gt)

AB=AC

\(\rightarrow\Delta AHB=\Delta AKC\left(cgc\right)\)

\(\rightarrow\widehat{ABH}=\widehat{ACK}\) (2 góc tương ứng)

Ta có: \(\widehat{ABC}=\widehat{OBC}+\widehat{ABH}\); \(\widehat{ACB}=\widehat{OCB}+\widehat{ACK}\)

\(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}\rightarrow\widehat{OBC}+\widehat{ABH}=\widehat{OCB}+\widehat{ACK}\)

mà \(\widehat{ABH}=\widehat{ACK}\)

\(\rightarrow\widehat{OBC}=\widehat{OCB}\)

\(\Rightarrow\Delta OBC\) cân tại O (đpcm)

Đề không đầy đủ. Bạn xem lại nhé.

Đề chưa đủ dữ kiện đâu em

Đề này thiếu TT về góc A nha

Do OM ⊥ AB (gt)

⇒ OM là đường cao của ∆ABC

Do ON ⊥ AC (gt)

⇒ ON là đường cao của ∆ABC

⇒ O là giao điểm của hai đường cao của ∆ABC

⇒ AO là đường cao thứ ba

⇒ AH ⊥ BC

Xét hai tam giác vuông: ∆ABH và ∆ACH có:

AH là cạnh chung

AB = AC (do ∆ABC cân tại A)

⇒ ∆ABH = ∆ACH (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

⇒ HB = HC (hai cạnh tương ứng)

a: Xét ΔBAD vuông tại A và ΔBHD vuông tại H có

BD chung

\(\widehat{ABD}=\widehat{HBD}\)

Do đó: ΔBAD=ΔBHD

=>BA=BH

b: Ta có: ΔBAD=ΔBHD

=>DA=DH

Ta có: DA=DH

DH<DC(ΔDHC vuông tại H)

Do đó: DA<DC

c: Xét ΔBHI vuông tại H và ΔBAC vuông tại A có

BH=BA

\(\widehat{HBI}\) chung

Do đó: ΔBHI=ΔBAC

=>BI=BC

=>ΔBIC cân tại B

d: Ta có: ΔBHI=ΔBAC

=>HI=AC

Ta có: AD+DC=AC

HD+DI=HI

mà AC=HI và AD=HD

nên DC=DI

=>D nằm trên đường trung trực của CI(1)

ta có: BI=BC

=>B nằm trên đường trung trực của CI(2)

ta có: MI=MC

=>M nằm trên đường trung trực của CI(3)

từ (1),(2),(3) suy ra B,M,D thẳng hàng

a: 

b: Xét ΔABM và ΔACM có

AB=AC

BM=CM

AM chung

Do đó: ΔABM=ΔACM

c: Xét ΔMAB và ΔMKC có

MA=MK

\(\widehat{AMB}=\widehat{KMC}\)(hai góc đối đỉnh)

MB=MC

Do đó: ΔMAB=ΔMKC

d: Ta có: ΔMAB=ΔMKC

=>\(\widehat{MAB}=\widehat{MKC}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên AB//KC

e: ΔAMB=ΔAMC

=>\(\widehat{MAB}=\widehat{MAC}\)

Xét ΔAHM vuông tại H và ΔAKM vuông tại K có

AM chung

\(\widehat{HAM}=\widehat{KAM}\)

Do đó: ΔAHM=ΔAKM

=>MH=MK

=>ΔMHK cân tại M

 a) Do AM là tia phân giác của ∠BAC (gt)

⇒ ∠BAM = ∠CAM

Xét ∆ABM và ∆ACM có:

AB = AC (gt)

∠BAM = ∠CAM (cmt)

AM là cạnh chung

⇒ ∆ABM = ∆ACM (c-g-c)

b) Do ∆ABM = ∆ACM (cmt)

⇒ BM = CM (hai cạnh tương ứng)

⇒ M là trung điểm của BC

Do ∆ABM = ∆ACM (cmt)

⇒ ∠AMB = ∠AMC (hai góc tương ứng)

Mà ∠AMB + ∠AMC = 180⁰ (kề bù)

⇒ ∠AMB = ∠AMC = 180⁰ : 2 = 90⁰

⇒ AM ⊥ BC

c) Do ∠BAM = ∠CAM (cmt)

⇒ ∠EAM = ∠FAM

Xét hai tam giác vuông: ∆AME và ∆AMF có:

AM là cạnh chung

∠EAM = ∠FAM (cmt)

⇒ ∆AME = ∆AMF (cạnh huyền góc nhọn)

⇒ ME = MF (hai cạnh tương ứng)

a,
Xét tam giác ABC có:
+ AB = AC (giả thuyết)
+ Góc CAM = MAB (AM là phân giác góc BAC)
+ AM chung
⇒ 2 tam giác bằng nhau (cgc) (đpcm)

b,
Ta có:
+ Tam giác AMC = Tam giác ABM (theo câu a)
⇒ CM = MB (2 cạnh tương ứng) (1)
⇒ M là trung điểm BC (đpcm)
+ Mà AM là tia phân giác góc CAB (2)
+ Góc AMC = Góc AMB (3)
Từ (1), (2), (3).
⇒ AM ⊥ BC (t/c) (đpcm)

c,
Ta có:
Tam giác ACM = Tam giác ABM (theo câu A)
⇒ Góc ACM = Góc ABM (2 góc tương ứng)
Ta có:
+ ME ⊥ AB (giả thuyết)
⇒ Tam giác MEB vuông tại E
+ MF ⊥ AC (giả thuyết)
⇒ Tam giác CFM vuông tại F
Xét tam giác CFM vuông tại F và tam giác MEB vuông tại E có:
+ Góc ACM bằng góc ABM (chứng minh trên)
+ MC = MB (theo câu b)
⇒ Hai tam giác CFM = MEB (cạnh huyền góc nhọn)
⇒ ME = MF (hai cạnh tương ứng) (đpcm)