Bài 6: Bất phương trình mũ và logarit

Đặt \(log_2x=t\)

\(t^2-4t+m+1< 0\) có \(t_1< t_2\le10\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=3-m>0\\t_2=2+\sqrt[]{3-m}\le10\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 3\\m\ge-61\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) Có 64 giá trị nguyên của m (chắc đề ghi nhầm "nguyên" thành "thực")

ĐKXĐ: \(x>3\)

Lấy logarit 2 vế: \(\left(2x^2-7x\right).ln\left(x-3\right)>0\)

\(\Leftrightarrow x\left(2x-7\right)ln\left(x-3\right)>0\)

Bảng xét dấu:

\(\Rightarrow\) Nghiệm của BPT là \(\left[{}\begin{matrix}3< x< \dfrac{7}{2}\\x>4\end{matrix}\right.\)

Chọn B

ĐKXĐ: \(x>0\)

Đặt \(\log_\frac{22}{3}x=t\) BPT trở thành:

\(\sqrt{2t^2-2t+5}-\sqrt{13}+\sqrt{2t^2-4t+4}\le0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{4t^2-4t+10}+\sqrt{4t^2-8t+8}\le\sqrt{26}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(2t-1\right)^2+9}+\sqrt{\left(2-2t\right)^2+4}\le\sqrt{26}\) (1)

Ta có:

\(\sqrt{\left(2t-1\right)^2+3^2}+\sqrt{\left(2-2t\right)^2+2^2}\ge\sqrt{\left(2t-1+2-2t\right)+\left(3+2\right)^2}=\sqrt{26}\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow\sqrt{\left(2t-1\right)^2+9}+\sqrt{\left(2t-2\right)^2+4}=\sqrt{26}\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

\(\dfrac{2t-1}{2-2t}=\dfrac{3}{2}\Rightarrow t=\dfrac{4}{5}\)

\(\Rightarrow \log_\frac{22}{3}x=\dfrac{4}{5}\)

\(\Rightarrow x=\left( \dfrac{22}{3}\right)^\frac{4}{5}\) \(\approx4,923\)

D là đáp án đúng

Đặt \(\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)^x=t>0\Rightarrow\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^x=\dfrac{1}{t}\)

BPT trở thành:

\(t+\dfrac{1}{t}\le2\)

\(\Leftrightarrow t^2-2t+1\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(t-1\right)^2\le0\)

\(\Rightarrow t-1=0\)

\(\Rightarrow t=1\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)^x=1\)

\(\Rightarrow x=0\)

\(3^{x+2}-3^{2-x}>24\)

\(\Leftrightarrow9.3^x-9.3^{-x}>24\)

Đặt \(3^x=t>0\)

\(\Rightarrow9t-\dfrac{9}{t}>24\)

\(\Leftrightarrow3t^2-8t-3>0\)

\(\Leftrightarrow\left(t-3\right)\left(3t+1\right)>0\)

\(\Leftrightarrow t>3\)

\(\Rightarrow3^x>3\)

\(\Rightarrow x>1\)

ĐKXĐ: \(x>0\)

\(log_2^2x-log_2x-log_24+2=0\)

\(\Leftrightarrow log_2^2x-log_2x=0\)

\(\Leftrightarrow log_2x\left(log_2x-1\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}log_2x=0\\log_2x=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=2\end{matrix}\right.\)

ĐKXĐ: \(x>\dfrac{1}{2}\)

\(log_{\dfrac{1}{2}}\left(\dfrac{x+1}{2x-1}\right)< 2\)

\(\Rightarrow\dfrac{x+1}{2x-1}>\dfrac{1}{4}\)

\(\Rightarrow x>-\dfrac{5}{2}\)

Kết hợp ĐKXĐ: \(\Rightarrow x>\dfrac{1}{2}\)

B . \(m< 3\)