Bài 3: Lôgarit

I. KHÁI NIỆM

1. Định nghĩa

Cho hai số dương \(a,b\) với \(a\ne1\). Số \(\alpha\) thoả mãn đẳng thức \(a^{\alpha}=b\) được gọi là lôgarit cơ số \(a\) của \(b\) và kí hiệu là \(\log_ab\).

                \(\alpha=\log_ab\Leftrightarrow a^{\alpha}=b\)

Ví dụ 1:

    +) \(\log_28=3\) vì \(2^3=8\)  ;

    +) \(\log_{\dfrac{1}{3}}9=-2\) vì \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-2}=9\).

Chú ý: Không có lôgarit của số âm và số 0.

2. Tính chất

Cho hai số dương \(a\) và \(b\), \(a\ne1\). Ta có các tính chất:

       \(\log_a1=0\) ; \(\log_aa=1\)

       \(a^{\log_ab}=b\) ; \(\log_a\left(a^{\alpha}\right)=\alpha\).

Ví dụ 2:

     +) \(3^{2\log_35}=\left(3^{\log_35}\right)^2=5^2=25\) ;

     +) \(\log_{\dfrac{1}{2}}8=\log_{\dfrac{1}{2}}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-3}=-3\).

II. QUY TẮC TÍNH LÔGARIT

1. Lôgarit của một tích

Định lí 1:

Cho ba số dương \(a,b_1,b_2\) với \(a\ne1\), ta có:

           \(\log_a\left(b_1b_2\right)=\log_ab_1+\log_ab_2\)

Lôgarit của một tích bằng tổng các lôgarit.

Chú ý: Định lí 1 có thể mở rộng cho tích của \(n\) số dương:

           \(\log_a\left(b_1b_2...b_n\right)=\log_ab_1+\log_ab_2+...+\log_ab_n\)

           (\(a,b_1,b_2,...,b_n>0,a\ne1\))

Ví dụ 3: Tính: 

           a) \(\log_69+\log_64\) ;

           b) \(\log_{\dfrac{1}{2}}2+2\log_{\dfrac{1}{2}}\dfrac{1}{3}+\log_{\dfrac{1}{2}}\dfrac{3}{8}\).

Giải:

a) \(\log_69+\log_64=\log_6\left(9.4\right)=\log_636=2\)

b) \(\log_{\dfrac{1}{2}}2+2\log_{\dfrac{1}{2}}\dfrac{1}{3}+\log_{\dfrac{1}{2}}\dfrac{3}{8}=\log_{\dfrac{1}{2}}2+\log_{\dfrac{1}{2}}\dfrac{1}{3}+\log_{\dfrac{1}{2}}\dfrac{1}{3}+\log_{\dfrac{1}{2}}\dfrac{3}{8}\)

    \(=\log_{\dfrac{1}{2}}\left(2.\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3}.\dfrac{3}{8}\right)=\log_{\dfrac{1}{2}}\dfrac{1}{12}\)

2. Lôgarit của một thương

Định lí 2: 

Cho ba số dương \(a,b_1,b_2\) với \(a\ne1\), ta có:

             \(\log_a\dfrac{b_1}{b_2}=\log_ab_1-\log_ab_2\)

Lôgarit của một thương bằng hiệu các lôgarit.

Đặc biệt: \(\log_a\dfrac{1}{b}=-\log_ab\) (\(a>0,b>0,a\ne1\))

Ví dụ 4: Tính \(\log_749-\log_7343\).

Giải:

       \(\log_749-\log_7343=\log_7\dfrac{49}{343}=\log_7\dfrac{1}{7}=-\log_77=-1\).

3. Lôgarit của một luỹ thừa

Định lí 3:

Cho hai số dương \(a,b\), \(a\ne1\). Với mọi \(\alpha\), ta có:

         \(\log_ab^{\alpha}=\alpha\log_ab\)

Lôgarit của một luỹ thừa bằng tích của số mũ với lôgarit của cơ số.

Đặc biệt: \(\log_a\sqrt[n]{b}=\dfrac{1}{n}\log_ab\).

Ví dụ 5: Tính giá trị của các biểu thức:

          a) \(\log_24^{\dfrac{1}{7}}\) ;

          b) \(\log_5\sqrt{3}-\dfrac{1}{2}\log_515\).

Giải:

a) \(\log_24^{\dfrac{1}{7}}=\dfrac{1}{7}\log_24=\dfrac{1}{7}.2=\dfrac{2}{7}\)

b) \(\log_5\sqrt{3}-\dfrac{1}{2}\log_515=\log_5\sqrt{3}-\log_5\sqrt{15}=\log_5\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{15}}=\log_5\dfrac{1}{\sqrt{5}}=\log_55^{-\dfrac{1}{2}}=-\dfrac{1}{2}\).

III. ĐỔI CƠ SỐ

Định lí 4:

Cho ba số dương \(a,b,c\) với \(a\ne1,c\ne1\), ta có \(\log_ab=\dfrac{\log_cb}{\log_ca}\).

Đặc biệt:  \(\log_ab=\dfrac{1}{\log_ba}\)  (\(b\ne1\))

                \(\log_{a^{\alpha}}b=\dfrac{1}{\alpha}\log_ab\) (\(\alpha\ne0\))

IV. VÍ DỤ ÁP DỤNG

Ví dụ 6: Tính:

      a) \(2^{\log_415}\)    ;

      b) \(3^{\log_{\dfrac{1}{27}}2}\).

Giải:

a) Ta có: \(\log_415=\log_{2^2}15=\dfrac{1}{2}\log_215=\log_2\sqrt{15}\)

    Do đó: \(2^{\log_415}=2^{\log_2\sqrt{15}}=\sqrt{15}\)

b) Vì \(\log_{\dfrac{1}{12}}2=\log_{3^{-3}}2=\log_32^{-3}=\log_3\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}\)

    nên \(3^{\log_{\dfrac{1}{27}}2}=3^{\log_3\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}}=\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}\).

Ví dụ 7: Cho \(\alpha=\log_220\). Tính \(\log_{20}5\) theo \(\alpha\).

Giải:

Ta có \(\alpha=\log_220=\log_2\left(2^2.5\right)=2\log_22+\log_25=2+\log_25\)

Suy ra \(\log_25=\alpha-2\)

Vậy \(\log_{20}5=\dfrac{\log_25}{\log_220}=\dfrac{\alpha-2}{\alpha}\).

Ví dụ 8: Rút gọn biểu thức \(A=\log_{\dfrac{1}{3}}7+2\log_949-\log_{\sqrt{3}}\dfrac{1}{7}\).

Giải:

\(A=\log_{\dfrac{1}{3}}7+2\log_949-\log_{\sqrt{3}}\dfrac{1}{7}=\log_{3^{-1}}7+2\log_{3^2}\left(7^2\right)-\log_{3^{\dfrac{1}{2}}}\left(7^{-1}\right)\)

    \(=-\log_37+2\log_37+2\log_37=3\log_37\)

Ví dụ 9: So sánh \(\log_23\) và \(\log_65\).

Giải:

Đặt \(a=\log_23\) và \(b=\log_65\)

Ta có: \(2^a=3>2^1\) nên \(a>1\), \(6^b=5< 6^1\) nên \(b< 1\)

Suy ra \(a>b\).

Vậy \(\log_23>\log_65\).

V. LÔGARIT THẬP PHÂN. LÔGARIT TỰ NHIÊN

1. Lôgarit thập phân

Lôgarit thập phân là lôgarit cơ số 10. 

\(\log_{10}b\) thường được viết là \(\log b\) hoặc \(lgb\).

2. Lôgarit tự nhiên

Người ta chứng minh được dãy số \(\left(u_n\right)\) với \(u_n=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n\) có giới hạn là một số vô tỉ và gọi số đó là \(e\).

Một giá trị gần đúng của \(e\) là \(e\approx2,718281828459045\)

Lôgarit tự nhiên là lôgarit cơ số \(e\).

\(\log_eb\) được viết tắt là \(\ln b\).