Bài 5: Ôn tập chương Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân.

Số lượng virus sau 11 phút là:

\(5\cdot3^{11}=885735\left(con\right)\)

Câu 2:

\(\left\{{}\begin{matrix}u_1+u_5-u_3=10\\u_1+u_6=17\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}u_1+u_1+4d-u_1-2d=10\\u_1+u_1+5d=17\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}u_1+2d=10\\2u_1+5d=17\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2u_1+4d=20\\2u_1+5d=17\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2u_1+4d-2u_1-5d=20-17\\2u_1+5d=17\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}-d=3\\2u_1+5d=17\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}d=-3\\2u_1=17-5d=17+5\cdot3=32\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}u_1=16\\d=-3\end{matrix}\right.\)

Câu 1:

Để a,b,c lập thành cấp số cộng thì

\(\left[{}\begin{matrix}a+c=2b\\a+b=2c\\b+c=2a\end{matrix}\right.\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x+1+x^2-1=2\cdot\left(3x-2\right)\\x+1+3x-2=2\left(x^2-1\right)\\x^2-1+3x-2=2\left(x+1\right)\end{matrix}\right.\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x^2+x-6x+4=0\\2x^2-2=4x-1\\x^2+3x-3-2x-2=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x^2-5x+4=0\\2x^2-4x-1=0\\x^2+x-5=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}\left(x-1\right)\left(x-4\right)=0\\2x^2-4x-1=0\\x^2+x-5=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x\in\left\{1;4\right\}\\x\in\left\{\dfrac{2+\sqrt{6}}{2};\dfrac{2-\sqrt{6}}{2}\right\}\\x\in\left\{\dfrac{-1+\sqrt{21}}{2};\dfrac{-1-\sqrt{21}}{2}\right\}\end{matrix}\right.\)

\(u_3=u_1+2d;u_2=u_1+d;u_7=u_1+6d\\ Có:\left\{{}\begin{matrix}u_3-u_7=-8\\u_2.u_7=75\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(u_1+2d\right)-\left(u_1+6d\right)=-8\\\left(u_1+d\right).\left(u_1+6d\right)=75\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-4d=-8\\u_1^2+7u_1d+6d^2=75\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}d=2\\u^2_1+14u_1+24=75\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}d=2\\u_1^2+14u_1-51=0\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}d=2\\u_1^2-3u_1+17u_1-51=0\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}d=2\\u_1\left(u_1-3\right)+17\left(u_1-3\right)=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}d=2\\\left(u_1+17\right)\left(u_1-3\right)=0\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}d=2\\\left[{}\begin{matrix}u_1+17=0\\u_1-3=0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}d=2\\\left[{}\begin{matrix}u_1=-17\\u_1=3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

Bài 1:

\(a\in\left(-\Omega;-\dfrac{\Omega}{2}\right)\)

=>\(cosa< 0\)

\(sin^2a+cos^2a=1\)

=>\(cos^2a=1-\left(-\dfrac{2}{3}\right)^2=\dfrac{5}{9}\)

mà cosa<0

nên \(cosa=-\dfrac{\sqrt{5}}{3}\)

\(sin2a=2\cdot sina\cdot cosa=2\cdot\dfrac{-2}{3}\cdot\dfrac{-\sqrt{5}}{3}=\dfrac{4\sqrt{5}}{9}\)

Lời giải:
Sau 10 năm đi làm ~ 120 tháng ~ 20 lần tăng lương.

Lương sau 10 năm là:

$6(1+5\text{%})^20=15,92$ (triệu đồng)

Vì `x+1;x+2y;3y+3` là `1` CSC `=>2x+4y=x+1+3y+3<=>x=4-y`   `(1)`

Vì `x+1;y+1;3y-1` là `1` CSN `=>(y+1)^2=(x+1)(3y-1)`    `(2)`

Từ `(1);(2)=>y^2+2y+1=(4-y+1)(3y-1)`

      `<=>y^2+2y+1=-3y^2+y+15y-5`

      `<=>[(y=3),(y=1/2):}`

  `=>[(x=1),(x=7/2):}`

Từ A đến C, có 4 đoạn đi lên (nằm song song nhau) và 5 đoạn đi ngang nằm song song

Ta kí hiệu đi lên là L và đi ngang là N, như vậy, số cách đi từ A đến C là số cách sắp xếp 9 kí tự bao gồm 4L và 5N

\(\Rightarrow\) Có \(\dfrac{9!}{5!.4!}\) cách

Tương tự, từ C đến B có 2L và 5N, có \(\dfrac{7!}{2!.5!}\) cách

Tổng cộng: \(\dfrac{9!}{5!.4!}.\dfrac{7!}{2!.5!}\) cách đi từ A đến B

\(\dfrac{n}{2n-1}>\dfrac{n}{2n}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow x_{n+1}>\dfrac{1}{2}.\left(\dfrac{x_n^2+2}{x_n}\right)\ge\dfrac{1}{2}.\dfrac{2\sqrt{2x_n^2}}{x_n}=\sqrt{2}\)

Dãy bị chặn dưới bởi \(\sqrt{2}\)

Ta sẽ chứng minh dãy đã cho là dãy giảm, hay \(x_{n+1}-x_n< 0\) với \(n>1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{n}{2n-1}\left(\dfrac{x_n^2+2}{x_n}\right)-x_n< 0\Leftrightarrow\left(1-n\right)x_n^2+2n< 0\)

\(\Leftrightarrow x_n^2>\dfrac{2n}{n-1}\Leftrightarrow x_n>\sqrt{\dfrac{2n}{n-1}}\)

Do \(x_n=\dfrac{n-1}{2\left(n-1\right)-1}.\left(\dfrac{x_{n-1}^2+2}{x_{n-1}}\right)=\dfrac{n-1}{2n-3}.\left(\dfrac{x_{n-1}^2+2}{x_{n-1}}\right)\ge\dfrac{2\sqrt{2}\left(n-1\right)}{2n-3}\)

Nên ta chỉ cần chứng minh: \(\dfrac{2\sqrt{2}\left(n-1\right)}{2n-3}>\sqrt{\dfrac{2n}{n-1}}\)

\(\Leftrightarrow6n-8>0\) (đúng)

Vậy dãy đã cho là dãy giảm

Dãy giảm và bị chặn dưới nên có giới hạn

Gọi giới hạn của dãy là L, lấy giới hạn 2 vế biểu thức truy hồi:

\(\lim\left(x_{n+1}\right)=\lim\left(\dfrac{n}{2n-1}.\dfrac{x_n^2+2}{x_n}\right)\Rightarrow L=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{L^2+2}{L}\right)\)

\(\Rightarrow L^2=2\Rightarrow L=\sqrt{2}\)