\(\left(x+a\right)^4+\left(x+b\right)^4=c\left(1\right)\)
ĐK: \(c\ge0\)
Đặt: \(y=x+\dfrac{a+b}{2}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+a=y+\dfrac{a-b}{2}\\x+b=y-\dfrac{a-b}{2}\end{matrix}\right.\)
Đặt: \(\dfrac{a-b}{2}=m\)
\(\left(x+a\right)^4+\left(x+b\right)^4=c\)
\(\Leftrightarrow\left(y+m\right)^4+\left(y-m\right)^4=c\)
\(\Leftrightarrow\left[\left(y+m\right)^2+\left(y-m\right)^2\right]^2-2\left(y+m\right)^2.\left(y-m\right)^2=c\)
\(\Leftrightarrow\left(2y^2+2m^2\right)^2-\left(2y^2-2m^2\right)^2=c\)
\(\Leftrightarrow4y^4+8y^2m^2+4m^4-2y^4+4y^2m^2-2m^4=c\)
\(\Leftrightarrow2y^4+12y^2m^2+2m^4=c\)
\(\Leftrightarrow y^4+6y^2m^2+m^4-\dfrac{c}{2}=0\)
Đặt: \(t=y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow t^2+6m^2t+m^4-\dfrac{c}{2}=0\left(2\right)\)
Ta có: \(\Delta'=8m^4+\dfrac{c}{2}\ge0\Rightarrow\) phương trình (2) luôn có nghiệm
Áp dụng định lý Vi-et ta có:
\(t_1+t_2=-6m^2\le0\) \(\forall m\in R\Rightarrow\) Phương trình 2 không thể có 2 nghiệm cùng mang dấu dương
Để phương trình 1 có nghiệm thì \(t_1,t_2\) không thể cùng mang dấu âm
\(\Rightarrow\) Phương trình (2) có 2 nghiệm trái dấu hoặc có ít nhất 1 nghiệm bằng 0
\(\Leftrightarrow m^4-\dfrac{c}{2}\le0\)
\(\Leftrightarrow c\ge2m^4\Rightarrow c\ge2\left(\dfrac{a-b}{2}\right)^4=\dfrac{\left(a-b\right)^4}{8}\)
Vậy với \(c\ge\dfrac{\left(a-b\right)^4}{8}\) phương trình (1) có nghiệm.