Bài 5: Công thức nghiệm thu gọn

a) \(\Delta=m^2-8\)

pt có ng kép \(\Leftrightarrow\Delta=0\Leftrightarrow m^2-8=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-\sqrt{8}\left(N\right)\\m=\sqrt{8}\left(N\right)\end{matrix}\right.\)

Kl: m= +-căn 8

b) \(\Delta'=\left(m-4\right)^2-\left(m^2+m+3\right)=-9m+13\)

pt có ng kép \(\Leftrightarrow\Delta=0\Leftrightarrow-9m+13=0\Leftrightarrow m=\dfrac{13}{9}\left(N\right)\)

Kl: m= 13/9

c) \(\Delta'=\left(-2\right)^2-4m^2=-4m^2+4\)

\(\Leftrightarrow\Delta=0\Leftrightarrow-4m^2+4=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-1\left(N\right)\\m=1\left(N\right)\end{matrix}\right.\)

Kl : m= +-1

Lời giải:

Để PT đã cho có nghiệm thì:

\(\Delta'=(m+1)^2-7(-m^2)\geq 0\)

\(\Leftrightarrow (m+1)^2+7m^2\geq 0\) (điều này luôn đúng với mọi \(m\in\mathbb{R}\) )

Do đó PT có nghiệm với mọi số thực $m$.

Bài 1: (Mình vẫn ko hiểu lắm là phải làm ntn nên sẽ làm 2 cách)

a) \(-30x^2+30x-7,5=0\)

C1: Ta có: \(a=-30\) ; \(b=30\) ; \(c=-7,5\)

\(\Rightarrow\) \(\Delta=b^2-4ac=30^2-4.\left(-30\right).\left(-7,5\right)\)

\(\Delta=1012>0\) (lấy gần bằng nhưng vì \(\Delta\) ko có giá trị gần bằng nên chỉ ghi là "=" thôi)

\(\Rightarrow\)\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{1012}=2\sqrt{253}\)

Vậy p/t đã cho có 2 nghiệm phân biệt là:

\(x_1=\frac{b^2-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{\left(-30\right)^2-2\sqrt{253}}{2.\left(-30\right)}\approx-14,47\)

\(x_2=\dfrac{b^2+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{\left(-30\right)^2+2\sqrt{253}}{2.\left(-30\right)}\approx-15.53\)

C2: Ta có: \(a=30\) ; \(b'=-15\) ; \(c=7,5\)

\(\Rightarrow\) \(\Delta'=b'^2-ac=\left(-15\right)-30.7,5\)

\(\Delta=0\)

Vậy p/t đã cho có nghiệm kép:

\(x_1=x_2=-\dfrac{b'}{a}=-\dfrac{\left(-15\right)}{30}=\dfrac{1}{2}=0,5\)

b) (Tương tự)

Bài 2:

\(x^2-2\left(m+2\right)x+m^2-12=0\)

a) Tại \(m=-4\) thì:

\(x^2-2\left(-4+2\right)x+\left(-4\right)^2-12=0\)

\(\Leftrightarrow\) \(x^2-2.\left(-2\right)x+\left(-4\right)^2-12=0\)

\(\Leftrightarrow\) \(x^2+4x+16-12=0\)

\(\Leftrightarrow\) \(x^2+4x+4=0\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left(x+2\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\) \(x+2=0\)

\(\Leftrightarrow\) \(x=-2\)

\(\dfrac{1}{x-a}+\dfrac{1}{x-b}+\dfrac{1}{x-c}=0\\ \Leftrightarrow\dfrac{\left(x-b\right)\left(x-c\right)+\left(x-a\right)\left(x-c\right)+\left(x-a\right)\left(x-b\right)}{\left(x-a\right)\left(x-b\right)\left(x-c\right)}=0\\ \Rightarrow\left(x-b\right)\left(x-c\right)+\left(x-a\right)\left(x-c\right)+\left(x-a\right)\left(x-b\right)=0\\ \Leftrightarrow x^2-\left(b+c\right)x+bc+x^2-\left(a+c\right)x+ac+x^2-\left(a+b\right)x+ab=0\\ \Leftrightarrow3x^2-\left(2a+2b+2a\right)x+ab+ac+bc=0\)

phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \(\Delta>0\) (1)

ta có: \(\Delta=\left(-2a-2b-2c\right)^2-4.3.\left(ab+bc+ca\right)\\ \Delta=4a^2+4b^2+4c^2-4ab-4ac-4bc\\ \Delta=4\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)\text{ }\text{ }\left(2\right)\)

mặt khác:

\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\left(dễ\:dàng\:chứng\:minh\:được\right)\\ đẳng\:thức\:xảy\:ra\:khi\:a=b=c\)

mà a,b,c phân biệt nên :\(a^2+b^2+c^2>ab+bc+ca\\ \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca>0\text{ }\left(3\right)\)

từ (1) (2) và (3) => đpcm

\(x^4+4x+5\)

\(=\left(x^4+4x+4\right)+1\)

\(=\left(x+2\right)^2+1\)

vì \(\left(x+2\right)^2\ge0\)với mọi x

\(\Rightarrow\left(x+2\right)^2+1>0\)với mọi x

vậy.....(đpcm)

@Cold Wind

x^4 +4x +5 > 0

<=>x^4 -2x^2 +1 +2x^2 +4x +4 =0

<=>(x^2 -1)^2 +2 x^2 +4x +2 +2 =0

<=>(x^2 -1)^2 +2 (x+1)^2 +2 =0

có

(x^2 -1)^2 >=0

2 (x+1)^2 >=0

2 >0 => tổng VT >0 => dpcm

Lời giải:

Dễ thấy $x,y$ phải cùng dấu, vì nếu không cùng dấu thì trong hai số $2^x$ hoặc $3^y$ sẽ tồn tại một số nguyên và một số không nguyên, khi đó hiệu sẽ không thể là $1$.

TH1: \(x,y>0\)

Vì \(3^y\equiv 0\pmod 3\Rightarrow 2^x-1\equiv 0\pmod 3\)

Mà \(2^x-1\equiv (-1)^x-1\pmod 3\)

Do đó, $x$ chẵn. Đặt \(x=2k (k\in\mathbb{Z}^+)\)

Ta có \(3^y=2^x-1=(2^k-1)(2^k+1)\). Khi đó tồn tại \(m,n\in\mathbb{N}|\)

\(\left\{\begin{matrix} 2^k-1=3^m\\ 2^k+1=3^n\end{matrix}\right.(m+n=y)\Rightarrow 3^n-3^m=2\)

Vì \(2\not\vdots 3\Rightarrow \) một trong hai số $m,n$ phải tồn tại một số bằng $0$

Hiển nhiên số bằng $0$ đó là \(m\)

\(\Rightarrow k=1\Rightarrow x=2\Rightarrow y=1\)

TH2:

Khi đó \(2^x< 1\Leftrightarrow 1+3^y< 1\Leftrightarrow 3^y< 0\) (vô lý với mọi số nguyên $y$)

Do đó TH này vô lý

Ta có cặp nghiệm \((x,y)=(2,1)\)

Lời giải:

TH1: \(x,y,z\geq 0\)

Ta có: \(2^x+5^y\equiv (-1)^x+(-1)^y\pmod 3\)

\(19^z\equiv 1\pmod 3\Rightarrow (-1)^x+(-1)^y\equiv 1\pmod 3\)

Do đó \(x,y\) cùng lẻ

Vì $y$ lẻ nên \(y\geq 1\Rightarrow 19^z-2^x=5^y\equiv 0\pmod 5\)

\(\Leftrightarrow (-1)^z-2^x\equiv 0\pmod 5\) \(\Leftrightarrow (-1)^z\equiv 2^x\pmod 5\)

Vì \(x\) lẻ nên xét hai dạng của $x$

\(x=4k+1\Rightarrow 2^x= 2^{4k+1}\equiv 2\pmod 5\)

\(x=4k+3\Rightarrow 2^x=2^{4k+3}\equiv 2^3\equiv 3\pmod 5\)

Do đó, \((-1)^z\equiv 2,3\pmod 5\) \((1)\)

Xét tính chẵn lẻ của \(z\) suy ra \((-1)^z\equiv \pm 1\pmod 5\Rightarrow (1)\) vô lý.

TH2: \(x,y,z< 0\)

Đặt \((x,y,z)=(-a,-b,-c)\Rightarrow a,b,c>0\)

PT tương đương: \(\frac{1}{2^a}+\frac{1}{5^b}=\frac{1}{19^c}\)

\(\Leftrightarrow 19^c(2^a+5^b)=2^a.5^b\)

\(\Rightarrow 19^c(2^a+5^b)\vdots 2^a\)

Nếu \(a\geq 1\), ta thấy \(19^c,2^a+5^b\) đều lẻ, do đó không thể chia hết cho \(2^a\)

Do đó \(a=0\) (vô lý vì \(a>0\))

TH3: \(x,y,z\) có sự trái dấu

Hai âm một dương, thì hiệu hoặc tổng của hai số có số mũ âm luôn nhỏ hơn số có mũ dương, do đó không thể xảy ra đẳng thức, kéo theo PT vô nghiệm.

Hai dương một âm:

Hiệu hoặc tổng của hai số mũ dương thì luôn là số nguyên, trong khi số có mũ âm (hệ số khác 1) luôn không là số nguyên , kéo theo mâu thuẫn.

Vậy PT vô nghiệm.

Lời giải:

Ta sẽ chứng minh , một số lập phương khi chia $7$ chỉ có thể có dư là \(0,1,6\)

Thật vậy: Xét số \(a^3\), có các TH sau:

+) \(a\equiv 0\pmod 7\Rightarrow a^3\equiv 0\pmod 7\)

+) \(a\equiv \pm 1\pmod 7\Rightarrow a^3\equiv \pm 1\pmod 7\)

\(\Leftrightarrow a^3\equiv 1,6\pmod 7\)

+) \(a\equiv \pm 2\pmod 7\Rightarrow a^3\equiv \pm 8\pmod 7\)

\(\Leftrightarrow a^3\equiv 1,6\pmod 7\)

+) \(a\equiv \pm 3\pmod 7\Rightarrow a^3\equiv \pm 27\pmod 7\)

\(\Leftrightarrow a^3\equiv 1,6\pmod 7\)

Do đó, \(a^3\equiv 0,1,6\pmod 7\) (đpcm)

Mà \(2016k+3=7.288k+3\equiv 3\pmod 7\)

Cho nên , \(2016k+3\) không thể là lập phương của một số nguyên.

F=(n+6)(n+2)(n-4)

n bé nhất => n =4

Bạn xem hướng dẫn ở đây nhé

Câu hỏi của Bùi Thị Hoài - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath