Bài 2: Định lý đảo và hệ quả của định lý Talet

Xét ΔBON và ΔBCD có

góc BON=góc BCD

góc OBN=góc CBD

=>ΔBON đồng dạng với ΔBCD

=>ON/CD=BO/BC

Xét ΔAMO và ΔACD có

góc AMO=góc ACD

góc MAO=góc CAD

=>ΔAMO đồng dạng với ΔACD

=>MO/CD=AO/AD

=>MO/CD=ON/DC

=>MO=ON

đơn vị là cm phải ko ạ?

xét tam giác ABC có

AD là phân giác góc A(gt)

=> \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{DB}{DC}\) (tính chất đường phân giác)

=> \(\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{4}{6}=>\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{2}{3}=>\dfrac{DB}{2}=\dfrac{DC}{3}\)

mà BC=8cm

áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có

\(\dfrac{DB}{2}=\dfrac{DC}{3}=\dfrac{DB+DC}{2+3}=\dfrac{6}{5}=1,2\)

\(=>DB=1,2\cdot2=2,4\left(cm\right);DC=1,2\cdot3=3,6\left(cm\right)\)

xét tam giác ABC có

BD là tia phân giác góc B(gt)

=> \(\dfrac{BA}{BC}=\dfrac{DA}{DC}\) (tính chất đường phân giác)

=> \(\dfrac{DA}{DC}=\dfrac{6}{10}=>\dfrac{DA}{DC}=\dfrac{3}{5}=>\dfrac{DA}{3}=\dfrac{DC}{5}\)

mà AC=6cm 

áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có

\(\dfrac{DA}{3}=\dfrac{DC}{5}=\dfrac{DA+DC}{3+5}=\dfrac{6}{8}=0,75\left(cm\right)\)

=> DA=0,75*3=2,25(cm)

c/m tương tự ta có EA=2,25(cm)

có \(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AD}{AC}\left(\dfrac{2,25}{6}=\dfrac{2,25}{6}\right)\)

=> ED//BC ( ta lét đảo)

=> \(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{ED}{BC}=>\dfrac{2,25}{6}=\dfrac{ED}{10}=>ED=3,75\left(cm\right)\)

Xét ΔBAC có BD là phân giác

nên AD/AB=CD/BC

=>AD/3=CD/5=(AD+CD)/(3+5)=6/8=0,75

=>AD=2,25cm

Xét ΔABC có ED//BC

nên ED/BC=AD/AC

=>ED/10=2,25/6=225/600=3/8

=>ED=3,75cm

Từ giả thiết ta có \(BE\perp AC\) và \(FN\perp AC\)

\(\Rightarrow BE||FN\)

Áp dụng định lý Talet: \(\dfrac{AF}{AB}=\dfrac{AN}{AE}\) (1)

Tương tự ta có \(EM||CF\Rightarrow\dfrac{AM}{AF}=\dfrac{AE}{AC}\) (2)

Nhân vế với vế (1) và (2):

\(\dfrac{AF}{AB}.\dfrac{AM}{AF}=\dfrac{AN}{AE}.\dfrac{AE}{AC}\)

\(\Rightarrow\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}\)

\(\Rightarrow MN||BC\) theo định lý Talet đảo

Xét tứ giác BFEC co góc BFC=góc BEC=90 độ

nên BFEC là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác MNEF có goc FME=góc FNE=90 độ

nên MNEF là tứ giác nội tiếp

=>góc AMN=góc AEF=góc ABC

=>MN//BC

Xét tứ giác BFEC co góc BFC=góc BEC=90 độ

nên BFEC là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác MNEF có goc FME=góc FNE=90 độ

nên MNEF là tứ giác nội tiếp

=>góc AMN=góc AEF=góc ABC

=>MN//BC

Xét tứ giác BFEC co góc BFC=góc BEC=90 độ

nên BFEC là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác MNEF có goc FME=góc FNE=90 độ

nên MNEF là tứ giác nội tiếp

=>góc AMN=góc AEF=góc ABC

=>MN//BC

Xét tứ giác BFEC co góc BFC=góc BEC=90 độ

nên BFEC là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác MNEF có goc FME=góc FNE=90 độ

nên MNEF là tứ giác nội tiếp

=>góc AMN=góc AEF=góc ABC

=>MN//BC