Bài 8: Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

1. Áp dụng các trường hợp đồng dạng của tam giác vào tam giác vuông

Từ các trường hợp đồng dạng của hai tam giác đã xét trước đây, ta suy ra:

Hai tam giác vuông đồng dạng với nhau nếu:

a) Tam giác vuông này có một góc nhọn bằng một góc nhọn của tam giác vuông kia;

Hoặc

b) Tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia.

Ví dụ:

+) \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) và \(\Delta DEF\) vuông tại \(D\)  có \(\widehat{B}=\widehat{E}\)  hoặc \(\widehat{C}=\widehat{E}\) thì \(\Delta ABC\) đồng dạng với \(\Delta DEF\);

+) \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) và \(\Delta DEF\) vuông tại \(D\)  có \(\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{AC}{DF}\) thì \(\Delta ABC\) đồng dạng với \(\Delta DEF\).

Ví dụ 1: Cho tam giác \(ACD\) vuông tại \(D\). Gọi \(B\) là một điểm nằm trên cạnh \(AC\). Từ \(B\) kẻ vuông góc với \(AC\) cắt \(AD\) tại \(E\). Chứng minh rằng \(AB.AC=AD.AE\)?

Giải:

Do \(BE\perp AC\) nên \(\Delta AEB\) vuông tại \(B\)

Xét \(\Delta ACD\) vuông tại \(D\) và \(\Delta AEB\) vuông tại \(B\) có: \(\widehat{A}\) chung

Suy ra \(\Delta ACD\) đồng dạng với \(\Delta AEB\)

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{AC}{AD}=\dfrac{AE}{AB}\)

\(\Rightarrow AB.AC=AD.AE\) (Đpcm)

Ví dụ 2: Cho tam giác \(ABC\) có đường cao \(AH\). 

     a) Chứng minh rằng \(AH^2=HB.HC\)

     b) Biết \(HB=9cm\), \(HC=16cm\). Tính diện tích tam giác \(ABC\).

Giải:

a) Ta có: \(\Delta AHB\) vuông tại \(H\) \(\Rightarrow\widehat{B}+\widehat{A_1}=90^0\) (hai góc nhọn phụ nhau)

    Lại có: \(\widehat{A_1}+\widehat{A_2}=90^0\))

    \(\Rightarrow\widehat{B}=\widehat{A_2}\) (cùng phụ với \(\widehat{A_1}\))

   Xét \(\Delta AHB\) vuông và \(\Delta CHA\) vuông có:

   \(\widehat{AHB}=\widehat{CHA}=90^0\)

   \(\widehat{B}=\widehat{A_2}\) (cmt)

   Suy ra \(\Delta AHB\) đồng dạng với \(\Delta CHA\)

   \(\Rightarrow\) \(\dfrac{AH}{HB}=\dfrac{HC}{AH}\)

   \(\Rightarrow\) \(AH^2=HB.HC\) (Đpcm)

b) Ta có: \(HB=9cm\), \(HC=16cm\)

   \(\Rightarrow\) \(AH^2=HB.HC=9.16=144\) 

  \(\Rightarrow\)  \(AH=12cm^2\)

  Khi đó: \(S_{\Delta ABC}=\dfrac{1}{2}.BC.AH=\dfrac{1}{2}\left(9+16\right).12=150\left(cm^2\right)\)

Vậy diện tích tam giác \(ABC\) là \(150cm^2\).

Ví dụ 3: Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB=12cm\), \(BC=20cm\). Trên đoạn thẳng \(AB\) và \(AC\) lần lượt lấy \(M\) và \(N\) sao cho \(AM=8cm\), \(AN=6cm\). 

   a) Chứng minh rằng \(\Delta AMN\) đồng dạng với \(\Delta ABC\)?

   b) Tính độ dài \(MN\)?

Giải:

a) Áp dụng định lý Py-ta-go trong tam giác vuông \(ABC\) ta có:

     \(AB^2+AC^2=BC^2\)

    \(\Rightarrow AC^2=BC^2-AB^2=20^2-12^2=256\)

    \(\Rightarrow AC=\sqrt{256}=16\left(cm\right)\)

  Ta có: \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{12}{16}=\dfrac{3}{4}\) ; \(\dfrac{AN}{AM}=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}\) \(\Rightarrow\) \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AN}{AM}\) \(\Rightarrow\) \(\dfrac{AN}{AB}=\dfrac{AM}{AC}\)

   Xét \(\Delta ANM\) và \(\Delta ABC\) cùng vuông tại \(A\) có \(\dfrac{AN}{AB}=\dfrac{AM}{AC}\)

  Suy ra \(\Delta ANM\) đồng dạng với \(\Delta ABC\) (Đpcm)

b) Do \(\Delta ANM\) đồng dạng với \(\Delta ABC\) 

   nên \(\dfrac{MN}{BC}=\dfrac{AN}{AB}=\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2}\) 

   Suy ra \(MN=\dfrac{1}{2}.BC=\dfrac{1}{2}.20=10\left(cm\right)\)

2. Dấu hiệu đặc biệt nhận biết hai tam giác vuông đồng dạng

Định lí 1:

Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và một cạnh của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

Chứng minh:

Do \(\dfrac{B'C'}{BC}=\dfrac{A'B'}{AB}\). Bình phương hai vế ta được \(\dfrac{B'C'^2}{BC^2}=\dfrac{A'B'^2}{AB^2}\)

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: \(\dfrac{B'C'^2}{BC^2}=\dfrac{A'B'^2}{AB^2}=\dfrac{B'C'^2-A'B'^2}{BC^2-AB^2}\)

Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông ta có: 

                  \(A'C'^2=B'C'^2-A'B'^2\)

                  \(AC^2=BC^2-AB^2\)

Do đó: \(\dfrac{B'C'^2}{BC^2}=\dfrac{A'B'^2}{AB^2}=\dfrac{A'C'^2}{AC^2}\)

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{B'C'}{BC}=\dfrac{A'B'}{AB}=\dfrac{A'C'}{AC}\)

Suy ra \(\Delta A'B'C'\) đồng dạng với \(\Delta ABC\) (trường hợp đồng dạng thứ nhất)

Ví dụ 4: Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB=7cm\), \(BC=12cm\) và \(\Delta DEF\) có \(DE=10,5cm\), \(EF=18cm\).

Chứng minh rằng \(\Delta ABC\) đồng dạng với \(\Delta DEF\)?

Giải:

Ta có: \(\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{7}{10,5}=\dfrac{2}{3}\) ; \(\dfrac{BC}{EF}=\dfrac{12}{18}=\dfrac{2}{3}\)

 \(\Rightarrow\) \(\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{BC}{EF}\)

Khi đó hai tam giac vuông \(\Delta ABC\) và \(\Delta DEF\) có \(\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{BC}{EF}\)

Suy ra \(\Delta ABC\) đồng dạng với \(\Delta DEF\).

3. Tỉ số đường cao, tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng

Định lí 2: 

Tỉ số hai đường cao tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng.

Chú ý: Hai đường cao tương ứng là hai đường cao xuất phát từ hai đỉnh tương ứng xuống cạnh đối diện của hai tam giác đồng dạng.

Ví dụ: \(\Delta A'B'C'\) có các đường cao \(A'H'\), \(B'K'\), \(C'I'\) đồng dạng với ​​\(\Delta ABC\) có các đường cao \(AH\), \(BK\), \(CI\) theo tỉ số \(k\) 

        Thì ta nói \(A'H'\) và \(AH\) là hai đường cao tương ứng, 

                       \(B'K'\) và \(BK\) là hai đường cao tương ứng, 

                       \(C'I'\) và \(CI\) là hai đường cao tương ứng.

            và ta có \(\dfrac{A'H'}{AH}=\dfrac{B'K'}{BK}=\dfrac{C'I'}{CI}=k\)

Định lí 3:

Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng.

Ví dụ: \(\Delta A'B'C'\) đồng dạng với \(\Delta ABC\) theo tỉ số \(k\) thì \(\dfrac{S_{\Delta A'B'C'}}{S_{\Delta ABC}}=k^2\).\

Ví dụ: \(\Delta DEF\) đồng dạng với \(\Delta MNP\) theo tỉ số \(\dfrac{1}{3}\)

          Thì \(\dfrac{S_{\Delta DEF}}{S_{\Delta MNP}}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^2=\dfrac{1}{9}\)

         Khi đó nếu \(S_{\Delta DEF}=12\left(cm^2\right)\) thì \(S_{\Delta MNP}=9.S_{\Delta DEF}=9.12=108\left(cm^2\right)\).