Bài 2: Dãy số

A=\(u_{n+1}-u_n=\left(2n+2-5\right)\cdot\left(-1\right)^{n+1}-\left(2n-5\right)\cdot\left(-1\right)^n\)

\(=\left(2n-3\right)\cdot\left(-1\right)^{n+1}-\left(2n-5\right)\cdot\left(-1\right)^n\)

TH1:n là số chẵn

=>A=-(2n-3)-(2n-5)=-2n+3-2n+5=-4n+8

\(u_{n+1}-u_n=-4\left(n+1\right)+8+4n-8=-4n-4+4n=-4< 0\)

=>Dãy số giảm

TH2: n là số lẻ

A=(2n-3)-(2n-5)*(-1)

=2n-3+2n-5=4n-8

\(u_{n+1}-u_n=4\left(n+1\right)-8-4n+8=4>0\)

=>Dãy số tăng

A=\(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{n+1}{3^{n+1}}:\dfrac{n}{3^n}=\dfrac{n+1}{n}\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{n+1}{3n}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3n}< =\dfrac{2}{3}\)

=>(un)<=2/3 với mọi n

Dãy số trên có dạng: \(\left\{{}\begin{matrix}u_n=3n-1\\n\ge1\end{matrix}\right.\)

\(3n-1=100\Rightarrow n=\dfrac{101}{3}\notin N\Rightarrow100\) ko thuộc dãy trên

Số hạng thứ 113 là: \(3.113-1=338\)

Lời giải:
1. Các số trong dãy đều là số chia 3 dư 2. 

100 chia 3 dư 1 nên không thuộc dãy trên

2. 

Số thứ nhất: $2=3.1-1$

Số thứ hai: $5=3.2-1$

Số thứ ba: $8=3.3-1$

.....

Số 113 là số hạng thứ x thì: $113=3.x-1$

$\Rightarrow x=38$

Vậy số 113 là số thứ 38.

Dễ dàng quy nạp mọi số hạng của dãy đã cho đều \(\ge3\)

(Do \(u_k\ge3\Rightarrow u_{k+1}=\dfrac{u_k^2+2007u_k+2}{2010}\ge\dfrac{9+3.2007+2}{2010}>3\))

Từ đó: \(u_{n+1}=\dfrac{\left(u_n+2007\right)u_n+2}{2010}\ge\dfrac{2010u_n+2}{2010}=u_n+\dfrac{1}{505}\)

\(\Rightarrow u_{n+1}\ge u_1+n.\dfrac{1}{505}\)

Mà \(\lim\left(\dfrac{n}{505}+3\right)=\infty\Rightarrow\lim\left(u_{n+1}\right)=\infty\)

\(\Rightarrow\lim\dfrac{1}{u_{n+1}-2}=0\)

Từ giả thiết suy ra:

\(u_{n+1}-2=\dfrac{\left(u_n-2\right)\left(u_n+2009\right)}{2010}\)

\(\Rightarrow\dfrac{u_n+2009}{u_{n+1}-2}=\dfrac{2010}{u_n-2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{u_n-1+2010}{u_{n+1}-2}=\dfrac{2010}{u_n-2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{u_n-1}{u_{n+1}-2}=\dfrac{2010}{u_n-2}-\dfrac{2010}{u_{n+1}-2}\)

\(\Rightarrow S=2010\left(\dfrac{1}{u_1-2}-\dfrac{1}{u_2-2}+\dfrac{1}{u_2-2}-\dfrac{1}{u_3-2}+...-\dfrac{1}{u_{n+1}-2}\right)\)

\(\Rightarrow S=2010\left(\dfrac{1}{u_1-2}-\dfrac{1}{u_{n+1}-2}\right)=2010\left(1-\dfrac{1}{u_{n+1}-2}\right)\)

\(\Rightarrow\lim\left(S\right)=2010\)

Dễ dàng CM được theo qui nạp ta có $u_n > 2$ $\forall n\ge 1$

Xét hiệu $u_{n+1} - u_n = \dfrac{u_n^2-3u_n+2}{2010} = \dfrac{(u_n-1)(u_n-2)}{2010}$

Dễ thấy với $u_n > 2$ thì $\dfrac{(u_n-1)(u_n-2)}{2010} > 0$ nên $u_{n+1} > u_n$

Suy ra dãy $u_n$ tăng ngặt.

Giả sử dãy bị chặn trên. Theo định lý weierstrass thì dãy đã cho có giới hạn.

Đặt $\lim u_n = a(a>2)$. Giải PT giới hạn ta được $a = 1$ or $a=2$ . Hai trường hợp đều không thỏa suy ra $\lim u_n = +\infty$

Từ HTTH ta suy ra:

$2010u_{n+1} = u_n^2+2007u_n+2$

$\to 2010(u_{n+1}-2) = (u_n-2)(u_n+2009)$

Đến đây bạn làm như thầy Lâm là được

Vậy $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{u_k-1}{u_{k+1}-2} = \dfrac{2010}{u_1-2} = 2010$

\(\Leftrightarrow n\left(a_{n+2}-a_{n+1}\right)=\left(n+1\right)\left(a_{n+1}-a_n\right)+3n\left(n+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a_{n+2}-a_{n+1}}{n+1}=\dfrac{a_{n+1}-a_n}{n}+3\)

Đặt \(\dfrac{a_{n+1}-a_n}{n}=b_n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b_1=\dfrac{a_2-a_1}{1}=-6\\b_{n+1}=b_n+3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow b_n\) là cấp số cộng với công sai 3

\(\Rightarrow b_n=b_1+\left(n-1\right)d=-6+3\left(n-1\right)=3n-9\)

\(\Rightarrow a_{n+1}-a_n=n\left(3n-9\right)=3n^2-9n\)

\(\Rightarrow a_{n+1}-\left(n+1\right)^3+6\left(n+1\right)^2-5\left(n+1\right)=a_n-n^3+6n^2-5n\)

Đặt \(a_n-n^3+6n^2-5n=c_n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}c_1=6-1+6-5=6\\c_{n+1}=c_n=...=c_1=6\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a_n=n^3-6n^2+5n+6\)

d

1.

\(\lim\left(u_n-2\right)=0\Rightarrow\lim\left(u_n\right)=2\)

2.

\(\lim\left(n+2\right)=+\infty\)

3.

\(\lim\left(u_n+v_n\right)=\lim\left(u_n\right)+\lim\left(v_n\right)=4+2=6\)

4.

\(\lim\dfrac{1}{n+3}=\dfrac{1}{+\infty}=0\)

5.

\(\lim2^n=+\infty\)

6.

\(\lim\left(u_n.v_n\right)=\lim u_n.\lim v_n=2.3=6\)

7.

\(\lim\left(u_n-2\right)=\lim\left(u_n\right)-\lim2=5-2=3\)

8.

\(\lim\limits_{x\rightarrow1}\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]=\lim\limits_{x\rightarrow1}f\left(x\right)+\lim\limits_{x\rightarrow1}g\left(x\right)=3+2=5\)

9.

\(\lim\limits_{x\rightarrow1}f\left(x\right)=2\)

10.

\(\lim\limits_{x\rightarrow1}\left(2x+1\right)=2.1+1=3\)