Bài 1: Hàm số lượng giác

\(\Leftrightarrow sinx\cdot\dfrac{\sqrt{5}}{9}+cosx\cdot\dfrac{2}{9}=\dfrac{3}{2}:9=\dfrac{1}{6}\)

=>sin(x+a)=1/6(với cos a=căn 5/9)

=>x+a=arcsin(1/6)+k2pi hoặc x+a=pi-arcsin(1/6)+k2pi

=>x=arcsin(1/6)+k2pi-a hoặc x=pi-arcsin(1/6)+k2pi-a

Lời giải:
Ta có:

$\cos ^2x\in [0;1]$ với mọi $x\in\mathbb{R}$

$\Rightarrow 1+3\cos ^2x\in [1;4]$
$\Rightarrow y=\frac{4}{1+3\cos ^2x}\in [1;4]$

Vậy $y_{\min}=1; y_{\max}=4$

Chọn A

ĐKXĐ:

a.

\(x+2\ne0\Rightarrow x\ne2\)

b.

\(1+cos2x>0\Rightarrow cos2x\ne-1\Rightarrow x\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi\)

c.

\(\left\{{}\begin{matrix}1-x^2\ge0\\sinx\ne0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-1\le x\le1\\x\ne k\pi\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-1\le x\le1\\x\ne0\end{matrix}\right.\)

d.

\(cosx+1>0\Rightarrow cosx\ne-1\Rightarrow x\ne\pi+k2\pi\)

Ta có : \(y=2cos^2x-2\sqrt{3}sinx.cosx+1\)  \(=cos2x-\sqrt{3}sin2x+2\) 

\(=2\left[cos2x.cos\dfrac{\pi}{3}-sin\dfrac{\pi}{3}.sin2x\right]+2\)  \(=2cos\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)+2\)

\(\Rightarrow y'=-2.2sin\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)=-4sin\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)\)  

( Đạo hàm : \(\left(cosu\right)'=-sinu.u'\)  ; \(c'=0\) ( c là hằng số ) ) 

y ' = 0 \(\Leftrightarrow2x+\dfrac{\pi}{3}=k\pi\left(k\in Z\right)\)

Có : \(x\in\left[0;\dfrac{7\pi}{12}\right]\) . Suy ra : k = 1 \(\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{3}\)

Ta có : \(y\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=0;y\left(0\right)=3;y\left(\dfrac{7}{12}\pi\right)=2\)

=> Chọn C 

Đặt `t=cos x`   `t in [-1;1]`

`=>4t^2-t-1=0`

`<=>[(t=[1+\sqrt{17}]/8),(t=[1-\sqrt{17}]/8):}`   (t/m)

`@t=[1+\sqrt{17}]/8=>cos x=[1+\sqrt{17}]/8`

                  `<=>x=+-arc cos([1+\sqrt{17}]/8)+k2\pi`   `(k in ZZ)`

`@t=[1-\sqrt{17}]/8=>cos x=[1-\sqrt{17}]/8`

                  `<=>x=+-arc cos([1-\sqrt{17}]/8)+k2\pi`   `(k in ZZ)`

Do (d') là ảnh của (d) qua phép vị tự nên \(d'||d\Rightarrow\) pt (d') có dạng: \(4x-y+c=0\) (1)

Lấy \(A\left(0;3\right)\) là 1 điểm thuộc d

Gọi \(B\left(x;y\right)=V_{\left(O;-2\right)}\left(A\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-2.0=0\\y=-2.3=-6\end{matrix}\right.\)

Thế vào (1):

\(4.0-\left(-6\right)+c=0\Rightarrow c=-6\)

Vậy pt đường thẳng đó là: \(4x-y-6=0\)

\(cosx=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\\x=-\dfrac{\pi}{6}+n2\pi\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}0< \dfrac{\pi}{6}+k2\pi< 4\pi\\0< -\dfrac{\pi}{6}+n2\pi< 4\pi\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-\dfrac{1}{12}< k< \dfrac{23}{12}\\\dfrac{1}{12}< n< \dfrac{25}{12}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}k=\left\{0;1\right\}\\n=\left\{1;2\right\}\end{matrix}\right.\)

Pt có 4 nghiệm trên khoảng đã cho

2cosx=\(\sqrt{3}\)   <=> cosx= \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) <=> x=\(\pm\)\(\dfrac{\pi}{6}\) +k2\(\pi\) 

=> có 4 nghiệm trên khoảng (0;4\(\pi\))

ĐKXĐ:

a. \(3-sinx\ge0\) (luôn đúng do \(sinx\le1\))

Vậy hàm xác định trên R

b.

\(x.sinx\ne0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ne0\\sinx\ne0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ne0\\x\ne k\pi\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x\ne k\pi\)

c.

\(sin^2x-1\ge0\Leftrightarrow-cos^2x\ge0\Rightarrow cosx=0\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\)

d.

\(\left\{{}\begin{matrix}1-x^2\ge0\\sinx\ne0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-1\le x\le1\\x\ne k\pi\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-1\le x\le1\\x\ne0\end{matrix}\right.\)